本文選題：修正分數(shù)階擴散方程 + WSGD逼近�。� 參考：《內(nèi)蒙古大學》2017年碩士論文

【摘要】：本文討論了非線性時間分數(shù)階問題的兩種數(shù)值計算方法,即:修正的非線性時間分數(shù)階擴散方程的WSGD逼近Galerkin有限元方法以及非線性分數(shù)階常微分方程的線性插值多項式法.首先,第一種計算方法是通過WSGD逼近算法和有限元離散的方法構造出非線性時間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值離散格式.首先,我們形成數(shù)值格式,其中時間的整數(shù)階導數(shù)部分用二階向后差分的方法離散,分數(shù)階導數(shù)部分采用WSGD算子近似,同時在空間方向上運用Galerkin有限元方法進行離散處理.其次,推導證明了有限元解的存在性和唯一性,給出所求問題在L2模意義下全離散格式的數(shù)值解與精確解之間的誤差估計.最后,通過數(shù)值實驗得到近似O(T2)的時間收斂階,驗證理論結論的正確性.通過數(shù)值算例也可以發(fā)現(xiàn)WSGD逼近算法和Galerkin有限元方法結合能夠顯著提高收斂精度.其次,第二種計算方法是利用線性插值多項式法構造了一類含有Hadamard部分有限積分的非線性常微分方程的數(shù)值離散格式.在時間方向上,分數(shù)階導數(shù)利用線性插值多項式方法逼近,整數(shù)階導數(shù)通過二階向后差分格式離散.經(jīng)過推理得到了收斂精度為O(Tmin{1+α,1+3}的誤差估計結果.最后,通過數(shù)值結果和理論結果的對比,直觀的說明了推理結果是正確的.
[Abstract]:In this paper, we discuss two numerical methods for nonlinear time fractional order problem, that is, WSGD approximation Galerkin finite element method for nonlinear time fractional order diffusion equation and linear interpolation polynomial method for nonlinear fractional ordinary differential equation. Firstly, the first method is to construct the numerical discretization scheme of nonlinear time fractional diffusion equation by WSGD approximation algorithm and finite element discretization method. First, we form a numerical scheme, in which the integral derivative of time is discretized by second-order backward difference, the fractional derivative is approximated by WSGD operator and the Galerkin finite element method is used in the spatial direction. Secondly, the existence and uniqueness of the finite element solution are proved, and the error estimates between the numerical solution and the exact solution of the full discrete scheme in the sense of L2 norm are given. Finally, the order of time convergence is obtained by numerical experiments, which verifies the correctness of the theoretical conclusion. Numerical examples also show that the combination of WSGD approximation algorithm and Galerkin finite element method can significantly improve the convergence accuracy. Secondly, the second method is to construct a numerical discrete scheme for a class of nonlinear ordinary differential equations with Hadamard partial finite integral by means of linear interpolation polynomial method. In time direction, fractional derivative is approximated by linear interpolation polynomial method, integer order derivative is discretized by second-order backward difference scheme. The result of error estimation with convergent accuracy of OTmin {1 偽 1 / 3} is obtained by reasoning. Finally, through the comparison between the numerical results and the theoretical results, it is intuitively proved that the reasoning results are correct.
【學位授予單位】：內(nèi)蒙古大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.8

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本文編號：2005272