本文選題：格微分方程 + Lyapunov-Schmidt約化��； 參考：《湖南大學(xué)》2015年博士論文

【摘要】：本文主要研究格微分方程和狀態(tài)依賴時滯微分方程的動力學(xué)行為.通常,格微分系統(tǒng)是由定義在離散空間上的無窮多個常微分方程耦合而成的系統(tǒng).隨著計算機(jī)的飛躍發(fā)展,數(shù)值計算已經(jīng)成為格微分方程的重要應(yīng)用背景之一,同時在圖像處理,化學(xué)反應(yīng),材料科學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域都應(yīng)用到格微分模型.格微分方程一方面能更確切地描述實際問題,另一方面,它比連續(xù)的偏微分方程具有更豐富的動力學(xué)行為.狀態(tài)依賴時滯微分方程的理論體系目前還不夠完善,關(guān)于這一方面的理論及其應(yīng)用著作也相對比較少.隨著各個學(xué)科的蓬勃發(fā)展,越來越多的狀態(tài)依賴時滯微分方程被用來描述物理,自動控制,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),傳染性疾病,人口增長和細(xì)胞繁殖等領(lǐng)域的動力學(xué)過程.因此,對狀態(tài)依賴時滯微分方程的研究具有重要的理論和實際意義.本文主要研究了一類二維格微分方程的波列問題,以及兩類狀態(tài)依賴時滯微分模型的動力學(xué)行為.本文的主要內(nèi)容如下:第一,我們研究一類二維格微分方程的波列解存在性和分支模式.由于系統(tǒng)的波動方程可看作一個既具有超前項又具有時滯的微分方程,不能運(yùn)用動力系統(tǒng)的半流理論來進(jìn)行研究.我們通過Lyapunov-Schmidt約化,將該方程約化為一個有限維空間上的具有某種對稱性的分岔方程,且保持原系統(tǒng)的哈密爾頓性.應(yīng)用不變理論和奇異性理論,我們在非共振和共振p:q兩種情形下得到了平衡點(diǎn)附近的小振幅解.我們分析了傳播方向θ的影響,并發(fā)現(xiàn)當(dāng)tanθ為有理數(shù)時,原二維格系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為一維格系統(tǒng),且原系統(tǒng)的結(jié)論可直接應(yīng)用于對應(yīng)的一維格系統(tǒng),從而得到某些一維格微分系統(tǒng)的波列存在性和分支模式.第二,我們研究狀態(tài)依賴時滯Nicholson飛蠅模型的動力學(xué)行為.首先,在對時滯函數(shù)和方程中的參數(shù)作適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下,分析了解的一些基本性質(zhì),包括解的存在唯一性,關(guān)于初值的連續(xù)依賴性,振蕩性等.接著,我們構(gòu)造了一個適當(dāng)?shù)木o狀態(tài)空間,使得系統(tǒng)的解構(gòu)成一個連續(xù)半流.通過引進(jìn)離散的Lyapunov泛函來分析了慢振蕩解,我們發(fā)現(xiàn)所有全局慢振蕩解所形成的集合構(gòu)成半流的一個全局吸引子.然后,通過線性化過程和譜分析,得到了系統(tǒng)平衡態(tài)的局部動力學(xué)性質(zhì),給出了正平衡態(tài)附近的局部不穩(wěn)定流形.最后,在局部不穩(wěn)定流形中,選取正平衡態(tài)的一個充分小的鄰域,將它延拓為一個全局不穩(wěn)定流形.通過分析該全局不穩(wěn)定流形的零點(diǎn)集,我們證明了慢振蕩周期解的存在性,且它正好構(gòu)成全局不穩(wěn)定流形的邊界.第三,我們利用不動點(diǎn)定理研究了一類二階狀態(tài)依賴時滯微分方程的慢振蕩周期解存在性.首先,我們得到解的一些基本性質(zhì),包括初值問題解的存在唯一性和關(guān)于初值的連續(xù)依賴性.然后,詳細(xì)地分析了系統(tǒng)的慢振蕩解.基于前面的結(jié)論,我們構(gòu)造了一個緊集和一個后繼映射,運(yùn)用不動點(diǎn)定理和平衡態(tài)的噴射性證明慢振蕩周期解的存在性.
[Abstract]:In this paper, we mainly study the dynamic behavior of differential equations and state dependent delay differential equations. Generally, the lattice differential system is a system which is coupled to infinitely many ordinary differential equations defined on the discrete space. With the rapid development of the computer, the numerical calculation has become one of the important application backgrounds of the lattice micro equation. The lattice differential model is applied in such fields as treatment, chemical reaction, material science and biology. The lattice differential equation can describe the actual problems more accurately on the one hand, and on the other hand, it has more abundant dynamic behavior than the continuous partial differential equation. The theory system of state dependent delay differential equation is not perfect at present. With the vigorous development of various disciplines, more and more state dependent delay differential equations are used to describe the dynamic processes in the fields of physics, automatic control, neural networks, infectious diseases, population growth and cell reproduction. Therefore, the study of state dependent delay differential equations The main contents of this paper are as follows: first, we study the existence and bifurcation of the wave solutions of a class of two-dimensional lattice differential equations. We study the wave solution existence and bifurcation of a class of two-dimensional lattice differential equations. The process can be considered as a differential equation with both the preterm and time delay. We can not use the semi flow theory of the dynamic system to study it. Through the reduction of Lyapunov-Schmidt, we reduce the equation to a bifurcation equation with some symmetry in a finite dimensional space, and hold the Hamilton property of the original system. And singularity theory, we obtain the small amplitude solution near the equilibrium point in two cases of non resonance and resonance p:q. We analyze the influence of the propagation direction theta, and find that when the tan theta is rational, the original two wig system can be transformed into a one wig system, and the original system can be directly applied to the corresponding one wig system, and thus the result can be obtained. Second, we study the dynamic behavior of the state dependent time-delay Nicholson fly model. First, we analyze some basic properties, including the existence and uniqueness of the solution and the continuous dependence of the initial values, under the proper assumption of the parameters in the delay function and the equation. Oscillation and so on. Then, we construct a proper tight state space so that the solution of the system constitutes a continuous half flow. By introducing the discrete Lyapunov functional, we analyze the slow oscillation solution. We find that all the sets formed by the global slow oscillation solutions constitute a full local attractor for the semi flow. Then, the linearization process and the spectral fraction are used. In this paper, the local dynamic properties of the equilibrium state of the system are obtained, and the local unstable manifolds near the positive equilibrium state are given. Finally, in the local unstable manifold, a sufficient small neighborhood of the positive equilibrium state is chosen to extend it into a global unstable manifold. By analyzing the zero point set of the global unstable manifold, we prove the slow vibration. The existence of the periodic solution, and it just constitutes the boundary of the global unstable manifold. Third, we use the fixed point theorem to study the existence of a class of slow oscillation periodic solutions for a class of two order state dependent delay differential equations. First, we get some basic properties of the solution, including the existence and uniqueness of the solution of initial value problems and the continuity of initial values. Then, the slow oscillation solution of the system is analyzed in detail. Based on the previous conclusion, we construct a compact set and a successor mapping, and use the fixed point theorem and the jetting of the equilibrium state to prove the existence of the periodic solution of the slow oscillation.
【學(xué)位授予單位】：湖南大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175

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本文編號：1987929