本文選題：Kuramoto-Sivashinsky方程 + 隨機Kuramoto-Sivashinsky方程��； 參考：《吉林大學》2015年博士論文

【摘要】：Kuramoto-Sivashinsky (KS)方程是Kuramoto等在研究反應(yīng)擴散系統(tǒng)相湍流和Sivashinsky在研究火焰燃燒傳播模型中獨立提出的,它反映了氣體的擴散和熱傳導(dǎo)對于平面火焰前緣穩(wěn)定性的綜合影響,同時這個非線性偏微分方程描述了在各種物理和化學系統(tǒng)中早期的不穩(wěn)定性.這個模型也來源于粘性液體倒在傾斜的平面受外加電場作用的建模中.KS方程已經(jīng)成為無窮維動力系統(tǒng)的一個典型例子.對比確定的KS方程,隨機KS方程也吸引了許多學者的關(guān)注.隨機KS方程源于濺射侵蝕面動態(tài)的粗化研究中,原則上,任何受時間噪聲影響的可以用確定KS方程描述的物理模型都可以用隨機KS方程描述.目前,控制理論是一個研究較多的科學領(lǐng)域.控制理論出現(xiàn)在大部分現(xiàn)代應(yīng)用中,同時也被稱為工業(yè)革命的重大發(fā)現(xiàn).另一方面,由于眾多數(shù)學思想和數(shù)學方法的融合,控制理論已經(jīng)成為一個新的重要的數(shù)學分支.近四十年來,偏微分方程的控制理論迅速發(fā)展,并由于實際問題的驅(qū)動,今天已經(jīng)吸引了許多學者的關(guān)注.但據(jù)我們所知,關(guān)于KS方程能控性的結(jié)果相對較少.本文致力于研究KS方程的能控性.在第一部分中,我們研究了具有內(nèi)部控制的KS方程的軌線精確能控性.我們首先對四階拋物算子建立了一個單參數(shù)形式的新的整體Carleman估計.這個整體Carleman估計與已有的整體Carleman估計的主要區(qū)別是估計中的權(quán)函數(shù)只依賴于一個參數(shù).為了得到這個估計,我們重新構(gòu)造了一個權(quán)函數(shù).然后,我們研究KS方程線性化系統(tǒng)的零能控性問題.應(yīng)用已得到的整體Carleman估計和能量估計,我們獲得了KS方程線性化系統(tǒng)對偶系統(tǒng)的能觀性不等式,基于此能觀性不等式,利用經(jīng)典的對偶討論,我們建立了KS方程線性化系統(tǒng)的零能控性.結(jié)合線性化系統(tǒng)的零能控性結(jié)果和Kakutani不動點定理可以得到KS方程的局部軌線能控性.在第二部分中,我們研究了正倒向線性隨機KS方程的零能控性.首先,我們利用Galerkin方法建立了正倒向線性隨機KS方程的適定性.然后我們建立了正倒向隨機四階拋物方程的整體Carleman估計.與確定情形本質(zhì)的不同是隨機情形建立這個估計有噪聲項的影響,所以確定情形建立整體Carleman估計的方法是不可以運用到隨機情形的.為此我們采用了一種新的方法,這種方法已經(jīng)被應(yīng)用到建立正倒向線性隨機熱方程的整體Carleman估計中.由這個整體Carleman估計和倒正向線性隨機KS方程的能量估計,我們可以建立倒正向線性隨機KS方程的能觀性不等式.由此能觀性不等式和Hahn-Banach定理,可以建立正倒向線性隨機KS方程的零能控性.
[Abstract]:Kuramoto-Sivashinsky KS) equation is proposed by Kuramoto et al in the study of phase turbulence in reaction diffusion system and Sivashinsky in the study of flame combustion propagation model. It reflects the comprehensive influence of gas diffusion and heat conduction on the stability of plane flame front. At the same time, this nonlinear partial differential equation describes the early instability in various physical and chemical systems. This model is also derived from the modeling of viscous fluid inverted on an inclined plane subjected to an applied electric field. KS equation has become a typical example of infinite dimensional dynamic system. Compared with the determined KS equation, the stochastic KS equation has attracted the attention of many scholars. The stochastic KS equation originates from the coarsening study of sputtering erosion surface dynamics. In principle, any physical model which can be described by deterministic KS equation can be described by stochastic KS equation. At present, control theory is a scientific research field. Control theory appears in most modern applications and is also known as an important discovery of the Industrial Revolution. On the other hand, control theory has become a new important branch of mathematics because of the fusion of many mathematical ideas and methods. In the past 40 years, the control theory of partial differential equations has developed rapidly, and has attracted the attention of many scholars because of the driving of practical problems. But as far as we know, there are few results about controllability of KS equation. The controllability of KS equations is studied in this paper. In the first part, we study the orbit exact controllability of KS equation with internal control. We first establish a new global Carleman estimator in the form of a single parameter for a fourth order parabolic operator. The main difference between the global Carleman estimator and the existing global Carleman estimator is that the weight function in the estimator is dependent on only one parameter. In order to obtain this estimate, we reconstruct a weight function. Then, we study the zero controllability of the linearized system of KS equation. By using the global Carleman estimate and energy estimate, we obtain the observability inequality for the dual system of the linearized system of KS equation. Based on this observability inequality, we use the classical duality discussion. We establish the zero controllability of the linearized system of KS equation. The local orbit controllability of KS equation can be obtained by combining the zero controllability result of linearized system and Kakutani fixed point theorem. In the second part, we study the zero controllability of forward linear stochastic KS equations. First of all, we use the Galerkin method to establish the fitness of forward linear stochastic KS equation. Then we establish the global Carleman estimate for the forward backward stochastic fourth order parabolic equation. The essential difference from the deterministic case is that the establishment of this estimate in a random case has the effect of noise terms, so the method of establishing a global Carleman estimate in a given case can not be applied to a random case. For this purpose, we adopt a new method, which has been applied to the global Carleman estimation of forward linear stochastic heat equations. Based on the global Carleman estimate and the energy estimation of the backward linear stochastic KS equation, we can establish an observability inequality for the backward linear stochastic KS equation. Based on the observability inequality and Hahn-Banach theorem, the zero controllability of forward linear stochastic KS equations can be established.
【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175

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本文編號：1969657