本文選題：二階非線性微分方程 + 多點邊值問題　； 參考：《廣西大學》2017年碩士論文

【摘要】：在實際的工程應用中存在著許多非線性振動問題的數(shù)學模型可以化成duffing方程來研究.對于一些較為復雜的振動情況,其非線性項不僅僅是運動函數(shù)及其立方形式的復合,為此我們考慮一般化的Duffing方程.另外分數(shù)階微積分是微積分的重要分支,一般的分數(shù)階變系數(shù)Bagley-Torvik方程更是具有深刻的物理背景以及良好的應用價值.本文考慮這兩類重要的非線性微分方程,研究它們的多點邊值條件下解的存在性和唯一性及逼近方法.主要內(nèi)容有:(1)采用積分方法將一般化Duffing方程多點邊值問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為第二類非線性Hammerstein積分方程,根據(jù)Banach空間上的不動點原理在平方可積函數(shù)空間研究了其解的唯一性.然后提出了采用積分中值定理和分段逼近求解第二類非線性Hammerstein積分方程的思想,獲得了近似解的表達式并進行收斂性分析和誤差估計,和已有方法進行比較,通過數(shù)值實例驗證了數(shù)值方法的可行性和有效性.(2)將分數(shù)階變系數(shù)非線性Bagley-Torvik方程四點邊值問題轉(zhuǎn)化為含有弱奇異核或者連續(xù)核的第二類Fredholm-Hammerstein積分方程,利用不動點原理在連續(xù)函數(shù)空間研究了解的唯一性.然后提出了積分型分段Taylor級數(shù)展開法,給出了相應的充分條件.得到了含有弱奇異核的第二類非線性Fredholm-Hammerstein積分方程的近似解.通過對近似解的收斂性、誤差估計和數(shù)值實例進行計算分析,驗證了獲得的定理.以上研究成果豐富了微分方程邊值問題理論及數(shù)值求解方法,為實際物理力學過程的模擬提供了一定的理論依據(jù).
[Abstract]:In practical engineering applications, there are many mathematical models of nonlinear vibration problems which can be transformed into duffing equations to be studied. For some more complex vibration cases, the nonlinear term is not only a combination of the motion function and its cubic form, so we consider the generalized Duffing equation. In addition, fractional calculus is an important branch of calculus, and the general fractional variable coefficient Bagley-Torvik equation has a profound physical background and good application value. In this paper, we consider these two important nonlinear differential equations, and study the existence, uniqueness and approximation methods of solutions under multi-point boundary value conditions. In this paper, the multipoint boundary value problem of the generalized Duffing equation is transformed into the nonlinear Hammerstein integral equation of the second kind by using the integral method. The uniqueness of the solution is studied in the square integrable function space according to the fixed point principle on the Banach space. Then the idea of solving the nonlinear Hammerstein integral equation of the second kind by using integral mean value theorem and piecewise approximation is presented. The expression of approximate solution is obtained, and the convergence analysis and error estimation are carried out, which are compared with the existing methods. The feasibility and validity of the numerical method are verified by numerical examples. The four-point boundary value problem of fractional variable coefficient nonlinear Bagley-Torvik equation is transformed into the second kind of Fredholm-Hammerstein integral equation with weak singular kernel or continuous kernel. The uniqueness of solution in continuous function space is studied by using the fixed point principle. Then the integral type piecewise Taylor series expansion method is proposed and the corresponding sufficient conditions are given. The approximate solutions of the second kind of nonlinear Fredholm-Hammerstein integral equations with weakly singular kernels are obtained. The convergence, error estimation and numerical examples of the approximate solution are calculated and analyzed, and the obtained theorem is verified. The above research results enrich the theory of boundary value problem of differential equation and numerical solution method, and provide a certain theoretical basis for the simulation of practical physical and mechanical process.
【學位授予單位】：廣西大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O175.8

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本文編號：1903500