本文選題：函數(shù)展開(kāi)法 + 非線性偏微分方程��； 參考：《寧波大學(xué)》2015年碩士論文

【摘要】：物理學(xué)上許多的問(wèn)題都可以被歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型。因此,尋找由數(shù)學(xué)模型帶來(lái)的非線性偏微分方程的精確解不僅在孤子理論中有著十分重要的地位,而且有助于我們加深對(duì)物理學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。函數(shù)展開(kāi)法在求解非線性偏微分方程中具有不可替代的作用,其中推廣的tanh函數(shù)展開(kāi)法和相容的Riccati展開(kāi)法是兩種十分簡(jiǎn)捷有效的方法。本文主要運(yùn)用這兩種方法來(lái)研究Gardner方程、(2+1)維Konopelchenko-Dubrovsky方程以及一類耦合Boussinesq型方程解的問(wèn)題。在Gardner方程的研究方面,本文首先簡(jiǎn)單地介紹了Painlev′e截?cái)嗾归_(kāi)法和tanh函數(shù)展開(kāi)法的基本思想和步驟,然后利用這兩種方法得到了Gardner方程的解和相容性條件方程,然后通過(guò)將解寫成橢圓函數(shù)形式,對(duì)相容性條件方程進(jìn)行求解,最終得到了孤立子與橢圓周期解的相互作用。在Gardner方程研究方面,本文首先簡(jiǎn)要地介紹了相容的Riccati展開(kāi)法,并給出了相容的Riccati展開(kāi)可解性的概念,然后對(duì)Gardner方程應(yīng)用相容的Riccati展開(kāi)法求得其解與相容性條件,求解相容性條件和利用橢圓函數(shù)的定義,得到Gardner方程新的精確解以及一些具有特殊結(jié)構(gòu)的解。在(2+1)維Konopelchenko-Dubrovsky方程研究中,本文運(yùn)用相容的Riccati展開(kāi)法,先求得(2+1)維Konopelchenko-Dubrovsky方程的解和相容性條件,然后通過(guò)對(duì)相容性條件進(jìn)行求解,觀察到(2+1)維Konopelchenko-Dubrovsky方程新的解之間存在著具有周期性扭結(jié)的相互作用。在一類耦合Boussinesq型系統(tǒng)研究中,本文同樣運(yùn)用相容的Riccati展開(kāi)法,求得一類耦合Boussinesq型系統(tǒng)的解和相容性條件,然后通過(guò)求解其相容性條件,得到一類耦合Boussinesq型系統(tǒng)新的孤立波與其他非線性激發(fā)之間的相互作用。值得關(guān)注的是,我們可以得到一類耦合Boussinesq型系統(tǒng)的正弦孤立波解結(jié)構(gòu),這主要是利用了雅可比橢圓函數(shù)和第三類不完全可積橢圓積分。
[Abstract]:Many problems in physics can be reduced to mathematical models.Therefore, finding exact solutions of nonlinear partial differential equations brought by mathematical models is not only very important in soliton theory, but also helpful to our understanding of the essence of physics.The function expansion method plays an irreplaceable role in solving nonlinear partial differential equations. The generalized tanh function expansion method and the compatible Riccati expansion method are two very simple and effective methods.In this paper, we mainly use these two methods to study the solution of the Gardner equation / 21) -dimensional Konopelchenko-Dubrovsky equation and a class of coupled Boussinesq type equations.In the research of Gardner equation, this paper introduces the basic ideas and steps of Painlev'e truncation expansion method and tanh function expansion method, and then obtains the solution and compatibility condition equation of Gardner equation by using these two methods.Then, by writing the solution as an elliptic function, the compatibility condition equation is solved and the interaction between the soliton and the elliptic periodic solution is obtained.In the study of Gardner equation, the compatible Riccati expansion method is introduced briefly, and the concept of compatible Riccati expansion solvability is given. Then the compatible Riccati expansion method is applied to the Gardner equation to obtain its solution and compatibility conditions.By using the definition of elliptic function, a new exact solution of Gardner equation and some solutions with special structure are obtained.In this paper, the compatible Riccati expansion method is used to obtain the solution and compatibility condition of the Konopelchenko-Dubrovsky equation in the first place, and then the compatibility condition is solved by the compatibility condition.It is observed that there is a periodic kink interaction between the new solutions of the Konopelchenko-Dubrovsky equation.In the study of a class of coupled Boussinesq type systems, the compatible Riccati expansion method is also used to obtain the solution and compatibility conditions of a class of coupled Boussinesq type systems.The interaction between new solitary waves and other nonlinear excitations for a class of coupled Boussinesq type systems is obtained.It is worth noting that we can obtain the structure of sinusoidal solitary wave solutions for a class of coupled Boussinesq type systems, which mainly uses Jacobian elliptic functions and the third class of incomplete integrable elliptic integrals.
【學(xué)位授予單位】：寧波大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.29

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本文編號(hào)：1750819