本文選題：單擺方程 + FHE項(xiàng)�。� 參考：《湖南師范大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：本文,我們主要應(yīng)用有限維KAM理論證明了一類帶擬周期項(xiàng)的單擺方程存在擬周期解、一類帶FHE項(xiàng)及擬周期項(xiàng)的van der Pol-Mathieu-Duffing方程存在擬周期解,以及研究了帶雙曲型退化平衡點(diǎn)的三維非線性擬周期系統(tǒng)的擬周期解存在性.全文共包含四章和一個(gè)附錄.第一章,主要介紹了單擺方程和van der Pol-Mathieu-Duffing方程的由來(lái)和相關(guān)的研究背景、實(shí)際應(yīng)用意義,并且介紹了KAM理論的相關(guān)背景和國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀.同時(shí),引出本文的研究?jī)?nèi)容及意義.第二章,利用有限維KAM理論證明了一類帶擬周期項(xiàng)的單擺方程存在擬周期解.首先,我們概述了單擺模型的背景和研究現(xiàn)狀,之后我們給出了本文所要研究的一類單擺方程,并且給出了四個(gè)KAM定理.我們先證明了一個(gè)迭代引理,然后利用此迭代引理來(lái)證明主要結(jié)論.第三章，，討論一類帶FHE項(xiàng)及擬周期項(xiàng)的van der Pol-Mathieu-Duffing方程擬周期解的存在性.我們先概述了帶FHE項(xiàng)及擬周期項(xiàng)的van der Pol-Mathieu-Duffing方程的背景和本文中需要研究的模型,并且給出了一個(gè)KAM定理,即在四維相空間中證明了上述方程存在擬周期解.為了在四維相空間中討論擬周期解的存在性,我們需要做平移、伸縮、極坐標(biāo)等一系列變換,把方程化成四維相空間中的標(biāo)準(zhǔn)型.然后利用KAM理論來(lái)證明此標(biāo)準(zhǔn)型存在擬周期解.從而獲得原方程擬周期解的存在性.第四章,我們討論了帶雙曲型退化平衡點(diǎn)的三維非線性擬周期系統(tǒng)的擬周期解存在性.對(duì)于非退化系統(tǒng),我們一般把線性部分看成主項(xiàng)來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行約化.但是對(duì)于退化系統(tǒng),由于有零特征根的出現(xiàn),我們不能直接把線性部分看成主項(xiàng)來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行約化.此時(shí)我們可以把某一高次項(xiàng)看成主項(xiàng),對(duì)低次小擾動(dòng)項(xiàng)整體來(lái)進(jìn)行約化,從而證明系統(tǒng)存在擬周期解.附錄中,我們列出了本文使用的一些技術(shù)性引理.
[Abstract]:In this paper, we mainly use the finite dimensional KAM theory to prove the existence of quasi periodic solutions for a class of simple pendulum equations with quasi periodic terms, and the existence of quasi periodic solutions for a class of van der Pol-Mathieu-Duffing equations with FHE term and quasi periodic term.The existence of quasi periodic solutions for three dimensional nonlinear quasi periodic systems with hyperbolic degenerate equilibrium is studied.The paper consists of four chapters and an appendix.In the first chapter, the author introduces the origin of simple pendulum equation and van der Pol-Mathieu-Duffing equation, the relevant research background, practical application significance, and introduces the relevant background of KAM theory and the current research situation at home and abroad.At the same time, the research content and significance of this paper are introduced.In chapter 2, the existence of quasi-periodic solutions for a class of simple pendulum equations with quasi-periodic terms is proved by using the finite dimensional KAM theory.First, we summarize the background and research status of the simple pendulum model, then we give a class of simple pendulum equations to be studied in this paper, and give four KAM theorems.We first prove an iterative Lemma and then use this Lemma to prove the main results.In chapter 3, we discuss the existence of quasi periodic solutions for a class of van der Pol-Mathieu-Duffing equations with FHE term and quasi periodic term.First, we summarize the background of van der Pol-Mathieu-Duffing equation with FHE term and quasi periodic term and the model to be studied in this paper. We also give a KAM theorem, that is, the existence of quasi periodic solution of the above equation in four dimensional phase space is proved.In order to discuss the existence of quasi periodic solution in four dimensional phase space, we need to make a series of transformations such as translation, expansion and polar coordinates, and transform the equation into a standard form in four dimensional phase space.Then the existence of quasi periodic solutions of the canonical form is proved by KAM theory.The existence of quasi-periodic solution of the original equation is obtained.In chapter 4, we discuss the existence of quasi periodic solutions for three dimensional nonlinear quasi periodic systems with hyperbolic degenerate equilibrium points.For non-degenerate systems, we generally treat the linear part as the main term to reduce the system.However, for degenerate systems, due to the presence of zero eigenvalues, we can not directly treat the linear part as the main term to reduce the system.In this case, we can treat a higher order term as the main term and reduce the lower order small perturbation term as a whole, thus prove the existence of quasi periodic solutions for the system.In the appendix, we list some technical lemmas used in this paper.
【學(xué)位授予單位】：湖南師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：1730996