本文選題：半張量積　切入點：矩陣方程組　出處：《桂林電子科技大學》2017年碩士論文

【摘要】：半張量積概念最初由中科院程代展教授提出[An introduction to Semi-Tensor product of matrices and its applications,World Scientific,2012],在高維數據排列、多線性函數矩陣表示、電力系統(tǒng)穩(wěn)定性控制等領域應用廣泛,且為布爾網絡、密碼學、圖染色、模糊控制等研究提供一種新的研究工具.本文在前人研究基礎上,考慮半張量積下矩陣方程組AX=B XC=D的可解性,相容解的具體解析表達式及其不相容情況下的最小二乘解.Stiefel流形約束矩陣優(yōu)化問題是指自變量矩陣滿足列正交約束下極小化目標函數,其廣泛應用于稀疏主成分分析、線性與非線性特征值、二次分配、信息檢索、低秩相關矩陣、原子化學等領域.本文從數值角度研究來源于原子化學中的Stiefel流形一類矩陣最小二乘問題.本文具體內容組織如下:第二章研究半張量積下AX=B,XC=D的可解理論.分兩種情況即未知X為向量和矩陣展開討論,并分別給出半張量積定義下維數相容條件,相容解存在的充要條件及其具體解析表達式.第三章繼續(xù)討論半張量積下AX = B,XC = D的最小二乘解.通過半張量積的定義,將該問題等價轉化為普通矩陣乘積下的相關問題,并結合奇異值分解分別給出當未知X為向量和矩陣情形下最小二乘解的解析表達式.第四章從數值角度研究來源于原子化學中非線性矩陣方程XTAX=B的Stiefel流形約束最小二乘解.從可行和不可行方法兩方面設計若干迭代算法,包括梯度下降法、采用Barziiai-Browein步長法則的曲線搜索法、交替方向法、分裂正交約束法和臨近交替增廣拉格朗日法.通過大量數值實驗驗證各算法的有效性并比較迭代效率.
[Abstract]:The concept of semi-tensor product was first put forward by Professor Cheng Daizhan of the Chinese Academy of Sciences [an introduction to Semi-Tensor product of matrices and its applications / World Science 2012]. It is widely used in the fields of high-dimensional data arrangement, multi-linear function matrix representation, power system stability control, and so on, and it is Boolean network and cryptography.The research of graph coloring and fuzzy control provides a new research tool.In this paper, on the basis of previous studies, we consider the solvability of matrix equations AX=B XC=D under semi-tensor product.The concrete analytical expression of the compatible solution and the least square solution. Stiefel manifold constrained matrix optimization problem in the case of incompatibility is that the independent variable matrix satisfies the column orthogonal constraints and minimizes the objective function, which is widely used in sparse principal component analysis.Linear and nonlinear eigenvalues, quadratic assignment, information retrieval, low rank correlation matrix, atomic chemistry and so on.In this paper, the least square problem of a class of matrices of Stiefel manifolds derived from atomic chemistry is studied numerically.The content of this paper is organized as follows: in Chapter 2, we study the solvable theory of ax BX XCU D under semi-tensor product.In this paper, we discuss the unknown X as vector and matrix in two cases, and give the necessary and sufficient conditions for the existence of the compatible solution and the necessary and sufficient conditions for the existence of the compatible solution under the definition of semi-tensor product.In chapter 3, we continue to discuss the least square solution of ax = BX XC = D under semi-tensor product.Through the definition of semi-tensor product, the problem is equivalent to the related problem under the product of ordinary matrix, and the analytic expression of the least square solution under the condition of unknown X as vector and matrix is given by combining singular value decomposition.In chapter 4, the Stiefel manifold constrained least squares solutions derived from the nonlinear matrix equation XTAX=B in atomic chemistry are studied numerically.Several iterative algorithms are designed from both feasible and infeasible methods, including gradient descent method, curve search method using Barziiai-Browein step size rule, alternating direction method, split orthogonal constraint method and adjacent alternating augmented Lagrangian method.A large number of numerical experiments are carried out to verify the effectiveness of the algorithms and to compare the iterative efficiency.
【學位授予單位】：桂林電子科技大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.6

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本文編號：1719184