本文選題：平均曲率流　切入點：自相似解　出處：《廣西師范大學》2017年碩士論文

【摘要】：近些年來,有諸多學者研究拉格朗日平均曲率流的自相似解的各種剛性定理,自相似解可以分為兩類情形:自相似收縮解(self-shrinking)和自相似膨脹解(self-expanding solution).相對于自相似收縮解剛性定理研究,自相似膨脹解的剛性定理研究難度更大,因此自相似膨脹解的剛性定理研究至今仍無較大進展.本學位論文主要方程模型是基于如下蒙日安培型方程我們知道這類方程是偽歐式空間中拉格朗日平均曲率流的自相似收縮解.其對應的自相似膨脹解本文主要研究幾類微分方程解的伯恩斯坦定理,也就是說二階方程的伯恩斯坦定理,即什么條件下對應方程的解是二次多項式.進而完善自相似解剛性定理內容.本文一共分為四章,具體內容安排如下:第一章為緒論,主要是介紹拉格朗日平均曲率流問題的研究背景和現(xiàn)狀,以及高余維子流形伯恩斯坦定理簡述,并給出文中所用到的定義和引理、命題及主要定理.第二章考慮偽歐式空間的拉格朗日平均曲率流的自相似膨脹解,自變量維數(shù)為1的情況,的解的伯恩斯坦定理.利用偏微分方程中Cauchy-Kowalevskya定理.對所得引理中的解的性質進行適當?shù)姆艑?得出本節(jié)主要結果.然后考慮將方程進行一般化的推廣,對函數(shù)F做一定的限制,得出滿足方程(0.1)的解析解必然可以表示為一個二次多項式,同樣利用偏微分方程中Cauchy-Kowalevskya定理,對所得結論中解的正則性要求進行放寬,最后得出本節(jié)主要定理.第三章考慮偽歐式空間的拉格朗日平均曲率流的自相似收縮解,自變量維數(shù)為1的情況的解的伯恩斯坦定理.我們對v的自變量t = 0處鄰域進行泰勒級數(shù)展開,得到類似于第二章的引理.同樣的利用偏微分方程一般理論中的Cauchy-Kowalevskya定理,對引理進行適當?shù)臈l件放寬,最后得到本文的主要結果.進一步將本章節(jié)的方程進行一般化推廣,對函數(shù)F做一定的限制,得出方程(0.2)的解析解的表達式必然是一個二次多項式這一引理,利用偏微分方程一般理論中Cauchy-Kowalcvskya定理,對引理中的解的正則性要求進行放寬。于是得到本文主要結論.第四章考慮一類偏微分方程一維情形的解伯恩斯坦定理本節(jié)中我們創(chuàng)新性的給出了一種新的證明方法,使得證明過程更為簡潔.得出方程的解可表示為一個二次多項式.第五章作為本文的結束語,以及對本文問題的主要工作以及創(chuàng)新點進行總結說明,并且對進一步研究提出假設.
[Abstract]:In recent years , many scholars have studied various rigid theorems of the self - similarity solution of Lagrangian mean curvature flow , which can be divided into two categories : self - similarity and self - expanding solution . In the second chapter , we consider the Bernstein Theorem of the solution of the Lagrange mean curvature flow in the pseudo - Euclidean space , and then we can obtain the main results of this section . The second chapter takes into account the theorem of Cauchy - alevskya in the generalized theory of partial differential equations , and gives a conclusion that the analytic solution to the equation ( 0.1 ) is a quadratic polynomial .

【學位授予單位】：廣西師范大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O175

【參考文獻】

相關期刊論文 前2條

1 黃榮里;李長友;;一類常微分方程的伯恩斯坦定理[J];廣西師范大學學報(自然科學版);2016年01期

2 Rui Wei XU;Rong Li HUANG;;On the Rigidity Theorems for Lagrangian Translating Solitons in Pseudo-Euclidean Space Ⅰ[J];Acta Mathematica Sinica;2013年07期

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本文編號：1716568