本文選題：變分理論　切入點(diǎn)：變分迭代法　出處：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：反問題和奇異攝動問題廣泛存在于科學(xué)和工程實(shí)踐中,反問題大多具有不適定性,由于奇異攝動參數(shù)的影響,奇異攝動問題的精確解會在求解區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生劇烈的變化,這使得通常的數(shù)值方法不能夠得到這些問題數(shù)值穩(wěn)定的近似解。所以,越來越多的學(xué)者開始關(guān)注這些問題穩(wěn)定的數(shù)值算法。本文主要研究反問題和奇異攝動問題的變分方法,該方法以變分理論為基礎(chǔ),其主要優(yōu)勢在于該方法能為求解實(shí)際問題提供強(qiáng)大的理論框架,可使病態(tài)問題表現(xiàn)為一個(gè)適定問題。主要研究內(nèi)容如下:第二章給出偏微分方程源項(xiàng)反問題和系數(shù)反問題的反演方法,提出利用間接法對問題進(jìn)行反演。基于這種思想,通過給定的附加條件得到與原方程等價(jià)的非線性方程,用等價(jià)方程的解對精確解進(jìn)行近似。由于要考慮求解過程中誤差的積累對方程數(shù)值解的影響,本文引入變分迭代法給出等價(jià)的非線性方程的數(shù)值解,該方法的特點(diǎn)在于能夠通過較少的迭代步數(shù)得到很好的數(shù)值結(jié)果。在數(shù)值例子與實(shí)驗(yàn)方面,舉例說明方法的實(shí)現(xiàn)過程,并對附加條件進(jìn)行擾動實(shí)驗(yàn)。第三章研究了奇異攝動問題的數(shù)值算法,提出三種改進(jìn)的變分迭代法用于求解非線性二階奇異攝動初邊值問題。一方面,針對傳統(tǒng)變分迭代法的不足,提出了求解長區(qū)間上的Lane Emden方程的分段變分迭代法。該方法是在長區(qū)間上,將區(qū)間分段,在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用變分迭代法,克服了傳統(tǒng)的變分迭代法只在小區(qū)間范圍收斂的缺陷,并為了保證方法的穩(wěn)定性,進(jìn)行了收斂性分析與誤差估計(jì);另一方面,對于攝動問題,將變分迭代法與攝動技術(shù)巧妙的結(jié)合在一起,小參數(shù)的攝動技術(shù)能夠消除攝動參數(shù)對數(shù)值求解過程的影響,而變分迭代法在很多情況下能夠得到快速收斂解。變分迭代-攝動方法結(jié)合了這兩種方法的優(yōu)勢,能夠有效的求解非線性二階攝動初值問題;此外,對于邊值問題,由于變分迭代法給出的迭代公式不能直接推導(dǎo)出迭代結(jié)果滿足邊值條件,已有的處理辦法是在迭代初值中加入待定常數(shù),但當(dāng)非線性項(xiàng)很復(fù)雜時(shí),這個(gè)待定常數(shù)很難確定,所以本文將打靶法與變分迭代法結(jié)合,很好的解決了這個(gè)問題,得到了收斂快、精度高的打靶-變分迭代法。在第四章中,針對變分原理在反問題方面的實(shí)際應(yīng)用——圖像去噪問題,提出一種基于凸與非凸函數(shù)耦合的能量泛函的變分模型,基于該變分模型利用變分原理得到對應(yīng)的偏微分方程用于圖像去噪。該方程是正倒向擴(kuò)散的,非常適用于對分片常值圖像進(jìn)行圖像去噪。由于非凸函數(shù)的引入,要考慮方程解的存在唯一性,本文提出用Young測度理論論證方程弱解的存在性,在一定的附加條件下,論證Young測度解的唯一性,并利用Young測度解的性質(zhì)說明模型的合理性。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)方面,本文提出用PM方法的離散格式和AOS離散格式對所得偏微分方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,另外,提出用圖像的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度來評價(jià)去噪效果。實(shí)驗(yàn)的數(shù)值結(jié)果表明,本文提出的模型不但可以消除PM模型的斑點(diǎn)效應(yīng),避免TV模型的階梯效應(yīng),還可以很好的保護(hù)邊界。與這兩種經(jīng)典模型相比,新模型無論從視覺效果上還是從圖像去噪評價(jià)指標(biāo)上都優(yōu)于其它模型。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1624532