本文選題：非線性波動方程　切入點(diǎn)：爆破　出處：《南京大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：有關(guān)非線性高維雙曲方程整體經(jīng)典解或解爆破的研究不但是偏微分方程理論的核心問題,而且也有著強(qiáng)烈的物理應(yīng)用背景,如在流體力學(xué),量子力學(xué),控制論等學(xué)科中。從事該研究領(lǐng)域的著名專家有：J.Bourgain(1998年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者),Tao Terence(2004年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者),L.Hormander(1968年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者),S.Alinhac(巴黎第六大學(xué)教授),S.Klainermann(普林斯頓大學(xué)教授),Christodoulou(普林斯頓大學(xué)教授),I.Rodnianski(普林斯頓大學(xué)教授)等。對于n維空間中非線性波動方程的小初值問題：其中并且f在0點(diǎn)二階消失。當(dāng)初始值是具有緊支集的光滑函數(shù)時(shí),通過許多數(shù)學(xué)家的努力,到2000年左右人們已知基本解決了相關(guān)全局光滑解(n3)或產(chǎn)生爆破現(xiàn)象的(n=1,2,3)問題。從已經(jīng)解決問題的方程形式我們可以看到,非線性的擾動項(xiàng)只與解的導(dǎo)數(shù)有關(guān),而與解的本身無關(guān),而且該無關(guān)性是至關(guān)重要的。也就是說當(dāng)系數(shù)擾動項(xiàng)與解本身有關(guān)時(shí),情況非常復(fù)雜。事實(shí)上,在上個(gè)世紀(jì)后期,對于系數(shù)與解本身相關(guān)的情況,一些著名數(shù)學(xué)家就對特殊的情形給出了令人鼓舞的結(jié)果,比如說當(dāng)他們滿足弱零條件或者n大于4時(shí),全局解是存在的。為了研究更一般的非線性波方程Cauchy問題的解的整體存在性或爆破問題,S.Alinhac在2003年證明了三維非線性波動方程：的全局的存在性。他的工作是新奇深刻且有突破性的。而H.Lindblad又于2008年結(jié)合廣義相對論方程的研究方法對更一般的情形給出了全局存在性結(jié)果。除了上述的理論背景外,研究高維隱含解本身的非線性波動方程還具有相當(dāng)?shù)奈锢肀尘?如來自于來自于流體動力學(xué)和廣義相對論中的擬線性波動方程(或方程組)、來自于材料科學(xué)以及變分學(xué)中的散度型的非線性波動方程等。本文中,我們將考慮非線性波動方程(0.0.1)中的gjk和f不僅與解的導(dǎo)數(shù)u1有關(guān),而且與解本身u有關(guān)的一些情形。我們是從經(jīng)典解的角度來考慮問題的,所以在這篇博士論文中,我們都是假設(shè)初值是光滑具有緊支集的,然后對不同類型的問題采用不用的方法研究其經(jīng)典解的爆破性質(zhì)或者全局存在性。本文的主要結(jié)果如下：在第二章中,我們著重研究一類特殊的非線性波動問題：三維壓力梯度模型。這個(gè)模型起源于3維可壓縮歐拉系統(tǒng),它可以歸結(jié)為形式是的這樣一個(gè)波方程,其中i≤3)以及x=(x1,x2.x3)。在這一章中,我們是在初值是關(guān)于常狀態(tài)的小擾動下建立的3維壓力梯度方程經(jīng)典解的爆破結(jié)果。在第三章中,我們主要考慮帶有小初值的三維非線性波動方程的解的爆破問題,這是具有更一般形式的一個(gè)典型的代表,其中關(guān)于其變量光滑且可以顯式地表示為這里cij,dij以及eijk是常數(shù),并且至少有一個(gè)(i,j)滿足dij≠0。另外,不滿足零條件。對于三維波方程(?)t2u-(1+u)△u=0或者(?)t2u-(1+(?)tu)△u=0H.Lindblad,S.Alinhac以及F.John已經(jīng)相應(yīng)的給出了全局存在性或爆破結(jié)果。在這一章,我們主要證明了(?)t2u-(1+u+(?)tu)△u=0的小初值光滑解在有限時(shí)間內(nèi)爆破,并且在初值是徑向?qū)ΨQ時(shí)建立了存在時(shí)間Tε的顯式表達(dá)式。在第四章中,我們關(guān)注的是一般形式的二維波動方程0,其中g(shù)ij(u,%絬)的形式與第三章中的相同。當(dāng)零條件不滿足并且假設(shè)初值具有一個(gè)合適的非退化條件時(shí),我們證明了在有限時(shí)間內(nèi)小初值的光滑解是爆破的。更近一步的,我們建立了存在時(shí)間的顯式表達(dá)式以及相應(yīng)的爆破機(jī)制。在第五章中,我們研究了二維Chaplygin氣體的可壓縮歐拉系統(tǒng)的全局對稱解問題。對于一維或者高維多方氣體的可壓縮歐拉系統(tǒng),我們已經(jīng)知道了在有限時(shí)間內(nèi)光滑解將產(chǎn)生奇性。然而,對于三位的Chaplygin氣體,由于無旋和等熵流導(dǎo)致的勢方程中“零條件”起了至關(guān)重要的作用,P. Godin已經(jīng)證明了當(dāng)初值是一個(gè)常狀態(tài)的光滑緊致小擾動時(shí),帶有可變熵的三維光滑球?qū)ΨQ流是全局存在的。借助于滿足兩個(gè)零條件的二維擬線性波動方程的全局光滑小解的存在性,通過尋求一個(gè)合適的“靈魂權(quán)”以及一系列的分析,我們可以得到二維Chaplygin氣體小對稱解的一致加權(quán)估計(jì)。更近一步地,用連續(xù)性方法建立了光滑解的全局存在性。
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【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175.29

【參考文獻(xiàn)】

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1 李蔭藩,曹亦明;“LARGE-PARTICLE” DIFFERENCE METHOD WITH SECOND-ORDER ACCURACY IN GASDYNAMICS[J];Science in China,Ser.A;1985年10期

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本文編號：1606507