本文選題：對(duì)流擴(kuò)散方程　切入點(diǎn)：Navier-Stokes方程　出處：《山東大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：對(duì)流擴(kuò)散方程和Navier-Stokes方程是流體力學(xué)中的兩類基本方程,它們?cè)谖锢�、化學(xué)和工程中有著廣泛的應(yīng)用。在簡(jiǎn)化的情形下通過(guò)求解這兩類方程還能得到解析的結(jié)果,但當(dāng)遇到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)就很難求得解析解,這時(shí)數(shù)值求解成為一種非常有效的手段,于是構(gòu)造精確、穩(wěn)定和高效的數(shù)值方法成為研究這兩類問(wèn)題的重要內(nèi)容。近來(lái),無(wú)網(wǎng)格方法,特別是基于積分方程理論提出的精度高和計(jì)算量少的算法正引起一些學(xué)者的興趣。本文提出了一種積分方程法用于數(shù)值求解對(duì)流擴(kuò)散方程和Navier-Stokes方程,通過(guò)和其它方法的比較,該方法展現(xiàn)出了一些優(yōu)勢(shì)。在研究穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題時(shí),首先引入一個(gè)關(guān)于格林函數(shù)的拉普拉斯方程,將格林函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)形式并代入拉普拉斯方程,可將拉普拉斯方程變?yōu)橐淮鷶?shù)方程組,求解該方程組可得到級(jí)數(shù)形式的格林函數(shù)。利用格林函數(shù)的性質(zhì),可將對(duì)流擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為積分方程。此時(shí),再用相同的正交多項(xiàng)式把所要求解的未知量寫(xiě)成級(jí)數(shù)形式,然后利用多項(xiàng)式的正交性質(zhì),可把積分方程化為一個(gè)代數(shù)方程組,求解該方程組即可得到對(duì)流擴(kuò)散方程級(jí)數(shù)形式的近似解。最后,借助Chebyshev多項(xiàng)式和Fourier級(jí)數(shù),應(yīng)用積分方程法求解了非齊次邊界條件的一維對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題和齊次邊界條件的二維對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題。在與有限體積法、有限元法和迎風(fēng)差分法的比較中積分方程法都表現(xiàn)出了很高的精度,尤其在處理對(duì)流占優(yōu)的對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題時(shí)更是展示出了很好的穩(wěn)定性。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程,由于與穩(wěn)態(tài)情形相比,方程中多了時(shí)間變量,因此,需要考慮時(shí)間變量的離散方式。這里選用Crank-Nicolson方法對(duì)方程的時(shí)間變量進(jìn)行離散,這種方法既保證了離散格式的簡(jiǎn)潔,又使結(jié)果達(dá)到了較好的精度。對(duì)時(shí)間變量離散后得到的方程可以看做是穩(wěn)態(tài)形式的方程,這時(shí)構(gòu)造與此方程相關(guān)的關(guān)于格林函數(shù)的拉普拉斯方程,并利用格林函數(shù)的性質(zhì),就可以將離散后的對(duì)流擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于空間變量的積分方程。通過(guò)把格林函數(shù)和未知變量展開(kāi)成級(jí)數(shù)形式,可進(jìn)一步將積分方程簡(jiǎn)化為一個(gè)代數(shù)方程組。求解該方程組就可以得到用級(jí)數(shù)形式的有限和表示的非穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的近似解。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分,用兩個(gè)一維非穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題和四個(gè)二維非穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題檢驗(yàn)了該方法。在一維問(wèn)題中,給出的左右邊界條件一側(cè)為第一類邊界條件,另一側(cè)為第二類邊界條件。在二維問(wèn)題中,給出的既有對(duì)流占優(yōu)的問(wèn)題,也有非常數(shù)對(duì)流速度的問(wèn)題,并將計(jì)算結(jié)果與多種方法進(jìn)行了比較。在與變分多尺度方法的比較中,兩種方法都在網(wǎng)格數(shù)較小時(shí)就達(dá)到了很高的精度,但積分方程法的精度(尤其是計(jì)算效率)要明顯好于變分多尺度方法。在與有限體積元法的比較中,當(dāng)網(wǎng)格數(shù)較少時(shí),積分方程法的優(yōu)勢(shì)并不明顯,但隨著網(wǎng)格數(shù)的增加和時(shí)間步長(zhǎng)的減小,積分方程法誤差減小的速度顯著快于有限體積元法。在求解流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程時(shí),如何處理速度-壓力的耦合是一棘手的問(wèn)題。通過(guò)比較現(xiàn)有的各種處理該問(wèn)題的方法,并考慮到積分方程法的特點(diǎn),本文將采用投影法處理Navier-Stokes方程中的速度-壓力耦合問(wèn)題。為了將投影法離散后的方程轉(zhuǎn)化為積分方程,文中根據(jù)離散方程的形式分別引入了格林函數(shù)滿足的拉普拉斯方程。然后利用格林函數(shù)的性質(zhì),將離散后的Navier-Stokes方程轉(zhuǎn)化為積分方程。由于所研究的Navier-Stokes方程中速度場(chǎng)滿足的是一般性的邊界條件,并且投影法中的中間變量滿足的是Neumann邊界條件,所以為了計(jì)算的方便,統(tǒng)一采用了Chebyshev多項(xiàng)式對(duì)格林函數(shù)和未知變量進(jìn)行展開(kāi)。應(yīng)用Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)可以將所要求解的方程離散化為代數(shù)方程組,求解這些方程組就可以得到相應(yīng)方程的解。最后,本文給出了一個(gè)算例用于檢驗(yàn)該方法。計(jì)算結(jié)果表明與分?jǐn)?shù)步法相比,積分方程法具有很好的精確性和收斂性,并且對(duì)于相同節(jié)點(diǎn)數(shù),所用的CPU時(shí)間要明顯少于分?jǐn)?shù)步法。文中還專門(mén)討論了周期邊界條件下的對(duì)流擴(kuò)散方程和Navier-Stokes方程。在這種邊界條件下,由于可以采用Fourier級(jí)數(shù)對(duì)格林函數(shù)和未知變量進(jìn)行展開(kāi),所以計(jì)算格式相對(duì)簡(jiǎn)單。這里也是首先構(gòu)造格林函數(shù)的拉普拉斯方程,再利用格林函數(shù)的性質(zhì)將對(duì)流擴(kuò)散方程或者Navier-Stokes方程轉(zhuǎn)化為積分方程,并進(jìn)一步利用級(jí)數(shù)的正交性,將積分方程簡(jiǎn)化為一個(gè)常微分方程組,最后應(yīng)用TVDRunge-Kutta方法對(duì)該方程組進(jìn)行數(shù)值求解。計(jì)算結(jié)果表明,在求解對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題時(shí),積分方程法的精度以及收斂性要好于局部間斷Galerkin方法。在求解具有不同Reynolds數(shù)的Navier-Stokes方程時(shí),積分方程法和投影法相比也有很高的精度。尤其對(duì)于高Reynolds數(shù)的不可壓縮流動(dòng)問(wèn)題,積分方程法的優(yōu)勢(shì)更加明顯。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：1605940