本文選題：分數(shù)階滲流方程　切入點：Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)　出處：《中國工程物理研究院》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：自從十七世紀末分數(shù)階導(dǎo)數(shù)被提出之后,長時間內(nèi)分數(shù)階微積分的發(fā)展相對平緩.上世紀九十年代起,反常擴散,非牛頓流體力學(xué),粘彈性力學(xué),多孔介質(zhì)力學(xué),軟物質(zhì)物理力學(xué)的理論和應(yīng)用研究領(lǐng)域中出現(xiàn)了許多分數(shù)階模型,其理論和數(shù)值模擬研究逐漸成為熱點.近幾年,關(guān)于分數(shù)階微分方程的研究更加活躍.各種分數(shù)階微分方程被應(yīng)用到不同行業(yè)的實際問題中.由于大多分數(shù)階偏微分方程的顯式解析解無法直接得到,對方程進行數(shù)值模擬成為重要的分析方式.多孔介質(zhì)中的滲流問題被應(yīng)用到石油,化工,地質(zhì),水利等多個領(lǐng)域.經(jīng)典的整數(shù)階滲流方程是在滲流連續(xù)的假設(shè)條件下利用經(jīng)典的Darcy定律得到的,而這種假設(shè)條件與實際問題是不完全匹配的.在這種情況下,更一般的分數(shù)階Darcy定律被提出.經(jīng)典整數(shù)階滲流方程中的空間偏導(dǎo)數(shù)用分數(shù)階空間偏導(dǎo)數(shù)替代,便得到了分數(shù)階滲流方程.本論文主要研究分數(shù)階滲流方程的數(shù)值計算方法.第一章為背景知識.首先介紹分數(shù)階微積分的歷史,分數(shù)階微分方程理論與數(shù)值模擬的研究進展,其次介紹分數(shù)階滲流方程的背景以及已有的數(shù)值方法.第二章介紹分數(shù)階導(dǎo)數(shù)相關(guān)的基礎(chǔ)知識,對分數(shù)階滲流方程中空間混合分數(shù)階導(dǎo)數(shù)提出了一種一般的差分逼近公式.在一定條件下使用Fourier變換方法分析了其逼近誤差.該逼近公式關(guān)于空間步長具有1階精度.在此基礎(chǔ)上本文還給出了一種加權(quán)2階逼近公式.隨后通過數(shù)值算例驗證了每種逼近公式的精度.第三章研究一維雙邊分數(shù)階滲流方程的差分格式.使用第二章中證明的差分逼近公式分別得到求解一維雙邊分數(shù)階滲流方程的向后Euler差分格式與Crank-Nicolson格式,并在一定條件下證明兩種格式的穩(wěn)定性與收斂速度.特別地,針對Crank-Nicolson格式,本文使用外推技巧將其收斂階由O((△t)2+h)提高至O((△t)2+h2).通過分析離散代數(shù)方程組中剛度矩陣的Toeplitz結(jié)構(gòu),借助離散快速Fourier變換,提出了存儲量為O(N)單時間層計算量為O(N log N)的快速CGNR迭代方法.針對每種差分格式提出了相應(yīng)循環(huán)預(yù)處理矩陣,對此CGNR迭代進行加速.通過3個數(shù)值算例驗證兩種差分格式的穩(wěn)定性和收斂階,以及外推Crank-Nicolson的2階效果.計算時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明快速預(yù)處理CGNR迭代求解的實用性.第四章研究二維分數(shù)階滲流方程的差分格式.提出向后Euler差分格式與Crank-Nicolson格式,分別證明其穩(wěn)定性與收斂速度.本文類似地使用外推技巧將Crank-Nico1son格式的收斂階由O((△t)2+hx+ht)提高至O((△t)2+hx2+hy2).通過分析離散代數(shù)方程組中剛度矩陣的分塊Toeplitz結(jié)構(gòu),給出了存儲量為O(N)單時間層計算量為O(N log N)的快速CGNR迭代方法.通過數(shù)值試驗測試差分格式的收斂速度,并通過計算時間對比說明本文提出的快速算法較傳統(tǒng)Gauss消元法的明顯優(yōu)勢.第五章研究求解帶有分數(shù)階Robin/Neumann邊值條件的滲流方程隱式差分格式.證明格式的穩(wěn)定性所需條件較純Dirchlet邊值條件下有所降低.借助合適的循環(huán)預(yù)處理子,對該格式提出了快速預(yù)處理BiCGSTAB迭代方法.數(shù)值結(jié)果驗證了所提格式的穩(wěn)定性,收斂階以及快速算法的實用性.第六章為全文內(nèi)容的總結(jié)和對未來工作的展望.
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：中國工程物理研究院
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82

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