本文關(guān)鍵詞： 穩(wěn)定性 分支 離散時滯 分布時滯 非線性系統(tǒng) 多尺度 時域 頻域　出處：《北京交通大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：本文主要應(yīng)用中心流形定理、規(guī)范型理論、多尺度方法、頻域方法、擾動方法以及全局Hopf分支定理等理論和方法,針對幾類具有實際意義的時滯非線性模型的分支問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究,主要內(nèi)容如下:1.研究了一類簡單離散時滯模型x(n+1)=(1-α)x(n)+βx(n-τ)-x3(n-τ)的分支問題.通過分析形如λτ-(1-α))-β的特征多項式的根的分布,給出了不同時滯(τ = 1,2,3)下系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,并確定了時滯τ分別取2和3時特征多項式的一對復(fù)共軛特征根位于單位圓上(此時可能出現(xiàn)Hopf分支)的充要條件,揭示了系統(tǒng)中1:1強(qiáng)共振和1:2強(qiáng)共振等余維二分支存在的可能性.在此基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)α,β取特定值時,該模型及其線性系統(tǒng)具有等變結(jié)構(gòu).通過對一個簡單的離散時滯系統(tǒng)x(n+1)=(1-α)x(n)+βx(n-1)-x3(n-3)施加時滯反饋,得到了它的擾動系統(tǒng)x(n+1)=(1-α)x(n)+βx(n-)-x3(n-3)+β(x(n-3)-x(n-1)).將這兩個系統(tǒng)進(jìn)行比較,借助于數(shù)值仿真,我們發(fā)現(xiàn),原始系統(tǒng)僅僅存在規(guī)則的振動模式,而在擾動系統(tǒng)中,存在豐富的動力學(xué)行為,包括多個振動模式(2周期軌道、4周期軌道、8周期軌道)共存、Hopf分支產(chǎn)生的極限環(huán)、混沌、超混沌行為等.因而,引入時滯反饋會改變系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),使系統(tǒng)變得更為復(fù)雜.2.研究了一類具有時滯的Cournot雙寡頭博弈模型的分支問題.基于Cournot雙寡頭博弈模型,提出了一類具有兩個時滯的Coumot雙寡頭連續(xù)模型.通過穩(wěn)定性分析,確定了Nash平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充分條件;根據(jù)Hopf分支定理,確定了系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分支時參數(shù)的臨界值;同時,應(yīng)用中心流形定理和規(guī)范型理論確定了Hopf分支的方向、分支周期解的穩(wěn)定性以及周期的明確的計算公式.通過數(shù)值仿真,驗證了理論分析的正確性,并闡釋了系統(tǒng)參數(shù)對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.3.研究了一類具有三個時滯的Goodwin基因表達(dá)模型的分支問題.選擇三個時滯的和作為分支參數(shù),運(yùn)用頻域法研究了相應(yīng)的特征方程,確定了Hopf分支出現(xiàn)時分支參數(shù)的臨界值;利用Nyquist準(zhǔn)則和圖示Hopf分支定理確定了Hopf分支的方向和穩(wěn)定性;應(yīng)用高維常微分方程的Bendixson準(zhǔn)則和泛函微分方程的全局Hopf分支定理確定了系統(tǒng)中周期解的全局存在性.最后通過數(shù)值仿真,驗證了上述結(jié)論的正確性.4.研究了一類具有狀態(tài)依賴時滯的基因表達(dá)模型的分支問題.將狀態(tài)依賴時滯引入一類基因表達(dá)模型,提出了一類具有狀態(tài)依賴時滯的基因表達(dá)模型.首先分析了該模型定態(tài)解的局部穩(wěn)定性;然后討論了系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分支的條件,并應(yīng)用擾動方法確定了Hopf分支出現(xiàn)時分支的方向以及分支周期解周期的變化;最后根據(jù)狀態(tài)依賴時滯的三種特殊情形,通過數(shù)值仿真驗證了理論分析的正確性,并揭示了系統(tǒng)中Hopf分支的全局存在性.5.研究了一類具有時滯的Kaldor-Kalecki商業(yè)周期模型的分支問題.首先,應(yīng)用頻域法研究了 Kaldor-Kalecki商業(yè)周期模型Hopf分支出現(xiàn)的條件,并根據(jù)Nyquist準(zhǔn)則和圖示Hopf分支定理確定了Hopf分支的方向和穩(wěn)定性;然后,基于時滯反饋控制思想,對Kaldor-Kalecki商業(yè)周期模型的Hopf分支進(jìn)行了控制,使得控制參數(shù)取特定值時,Hopf分支可以延遲出現(xiàn)甚至消失;最后,將分布時滯引入該模型,建立了一個具有離散時滯和分布時滯的Kaldor-Kalecki模型,應(yīng)用多尺度方法確定了系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分支時分支的方向以及分支周期解的穩(wěn)定性,并通過數(shù)值仿真揭示了系統(tǒng)參數(shù)對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。
[Abstract]:In this paper , we have studied the bifurcation problem of a class of nonlinear models with time - delay , such as center manifold theorem , canonical form theory , multi - scale method , frequency domain method , perturbation method and global Hopf bifurcation theorem . The direction and stability of Hopf bifurcation are determined by using the Nyquist criterion and the graph Hopf bifurcation theorem ; the global existence of periodic solutions in the system is determined by using the Bendixson criterion of the high dimensional ordinary differential equation and the global Hopf bifurcation theorem of the functional differential equation .

【學(xué)位授予單位】：北京交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號：1530857