發(fā)布時(shí)間：2018-02-08 10:21

  本文關(guān)鍵詞： Bergman空間 Toeplitz算子 小Hankel算子 乘積 交換性 擬齊次　出處：《大連理工大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：函數(shù)空間上的算子理論是線性算子理論中十分活躍并引起廣泛關(guān)注的分支之一,這是因?yàn)樗阕永碚撝性S多深層次的問(wèn)題都可以模型化為具體的函數(shù)空間上的、由具有某些特殊性質(zhì)的函數(shù)所誘導(dǎo)出的算子的相應(yīng)問(wèn)題.人們通過(guò)對(duì)這些“具體”算子的研究來(lái)揭示“抽象”算子的內(nèi)在性質(zhì).Bergman空間上的Toeplitz算子和Hankel算子作為算子理論中的一個(gè)重要分支,近半個(gè)世紀(jì)以來(lái),得到了廣大學(xué)者的關(guān)注.一方面,它們與函數(shù)論和算子理論中的諸多經(jīng)典問(wèn)題密切相關(guān),如不變子空間問(wèn)題.另一方面,它們?cè)诹孔恿W(xué)、控制理論、小波分析等學(xué)科中有著十分重要的應(yīng)用.關(guān)于這兩種算子的研究對(duì)探索算子理論乃至線性算子的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用將會(huì)產(chǎn)生積極的作用,同時(shí)也將會(huì)促進(jìn)算子理論與代數(shù)、幾何、拓?fù)涞阮I(lǐng)域的融合.本文主要研究了單位圓盤調(diào)和Bergman空間上以擬齊次函數(shù)為符號(hào)Toeplitz算子和小Hankel算子的交換性、乘積問(wèn)題,以及單位球多重調(diào)和Bergman空間上以擬齊次和分別擬齊次函數(shù)為符號(hào)的Toeplitz算子的交換性、乘積等問(wèn)題.第一章主要介紹Hardy空間、Bergman空間、調(diào)和Bergman空間上Toeplitz算子和Hankel算子等相關(guān)背景知識(shí),以及關(guān)于Toeplitz算子和Hankel算子的有界性、緊性、有限秩、交換性、乘積等方面的研究歷史和研究現(xiàn)狀.第二章主要在單位圓盤調(diào)和Bergman空間上,利用Mellin變換,研究了以徑向和擬齊次函數(shù)為符號(hào)的Toeplitz算子和小Hankel算子的代數(shù)性質(zhì),解決了擬齊次Toeplitz算子和擬齊次小Hankel算子的乘積問(wèn)題.同時(shí),給出了擬齊次Toeplitz算子與小Hankel算子可交換的條件.第三章主要在單位球多重調(diào)和Bergman空間上,研究了以擬齊次函數(shù)和分別擬齊次函數(shù)為符號(hào)的Toeplitz算子的一些代數(shù)性質(zhì).首先給出了兩個(gè)以特殊分別擬齊次函數(shù)為符號(hào)的Toeplitz算子乘積為Toeplitz算子的條件.其次,討論了其一為分別擬齊次Toeplitz算子,其它為擬齊次Toeplitz算子的多個(gè)Toeplitz算子的零積問(wèn)題,并且證明了與一個(gè)分別擬齊次Toeplitz算子乘積為零的Toeplitz算子只有平凡的形式.最后,得到了特殊擬齊次和分別擬齊次Toeplitz算子的交換性.
[Abstract]:The operator theory on the function space is one of the most active branches of the linear operator theory. This is because many deep problems in the operator theory can be modeled into the specific function space. The corresponding problems of operators induced by functions with some special properties are studied to reveal the intrinsic properties of "abstract" operators. The Toeplitz operators and Hankel operators on the Bergman space are regarded as computations. An important branch of subtheory, In the past half century, many scholars have paid close attention to them. On the one hand, they are closely related to many classical problems in function theory and operator theory, such as invariant subspace problems. On the other hand, they are used in quantum mechanics and control theory. Wavelet analysis and other disciplines have very important applications. The study of these two operators will play a positive role in exploring the structure and application of operator theory and linear operator, and will also promote the theory of operator, algebra, geometry, and so on. In this paper, we study the commutativity and product of Toeplitz operators and small Hankel operators with quasi homogeneous functions as sign on the unit disk harmonic Bergman space. The commutativity and product of Toeplitz operators with the sign of quasi homogeneous and quasi homogeneous functions on the unit sphere multiharmonic Bergman spaces are also discussed in the first chapter. Toeplitz operator and Hankel operator on harmonic Bergman space, and the boundedness, compactness, finite rank, commutativity of Toeplitz operator and Hankel operator. In chapter 2, the algebraic properties of Toeplitz operators and small Hankel operators with radial and quasi-homogeneous functions are studied by using Mellin transform on the unit disk harmonic Bergman space. The product problem of quasi homogeneous Toeplitz operators and quasi homogeneous small Hankel operators is solved. At the same time, the conditions under which quasi homogeneous Toeplitz operators and small Hankel operators can be exchanged are given. In this paper, we study some algebraic properties of Toeplitz operators with the signs of quasi homogeneous functions and quasi homogeneous functions respectively. Firstly, we give the conditions under which the product of two Toeplitz operators signed by special respectively quasi homogeneous functions are Toeplitz operators. In this paper, we discuss the zero product of several Toeplitz operators with quasi homogeneous Toeplitz operators and quasi homogeneous Toeplitz operators respectively, and prove that there is only a trivial form of Toeplitz operators with a zero product of a quasi homogeneous Toeplitz operator. The commutativity of special quasi homogeneous and respectively quasi homogeneous Toeplitz operators is obtained.
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O177

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本文編號(hào)：1495220