本文關(guān)鍵詞：一類(lèi)算子方程正解的多重性及其應(yīng)用　出處：《山西大學(xué)》2015年碩士論文　論文類(lèi)型：學(xué)位論文

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【摘要】：非線(xiàn)性問(wèn)題通常產(chǎn)生于數(shù)學(xué),物理等自然學(xué)科,能夠很好地描述自然界中出現(xiàn)的各種現(xiàn)象,所以一直以來(lái)受到國(guó)內(nèi)外科研工作者的廣泛關(guān)注Kirchhoff型方程是一類(lèi)重要的非線(xiàn)性微分方程,關(guān)于其解的存在性與多重性一直是學(xué)者們研究的熱點(diǎn).另外,非線(xiàn)性算子方程解的存在性和多重性也是非常有意義的課題.本文利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論了一類(lèi)具有齊次項(xiàng)的方程解的情況,并運(yùn)用主要結(jié)果來(lái)考察一維Kirchhoff型方程解的情況,得到了其解的存在性與多重性結(jié)果.此外,本文還以L(fǎng)eggett-Williams三解定理為理論基礎(chǔ),研究了Kirchhoff型方程徑向正解的多重性問(wèn)題.在適當(dāng)?shù)臈l件下,得到了Kirchhoff型方程的兩個(gè)徑向正解.作為直接推論,也得到了橢圓方程的兩個(gè)徑向正解,并列舉了一個(gè)可使橢圓方程有無(wú)窮多個(gè)徑向正解的例子,且繪制了非線(xiàn)性項(xiàng)f的大致圖像.除此之外,在證明的過(guò)程中,提出并證明了一個(gè)新的不等式.本文分為四章.第一章,緒論.第二章,預(yù)備知識(shí).介紹一些基本概念與定理,在以后各章中都要用到.第三章,討論如下具有齊次項(xiàng)的非線(xiàn)性算子方程正解的存在性與多重性,φ(u)u=λaAu+Bu+uo, (3.1.1)這里參數(shù)λ≥0,u0∈P是給定的元素,A：E→E是全連續(xù)正線(xiàn)性算子,B：P→P是全連續(xù)a-齊次算子,φ(u):a+b‖u‖β,其中α≥0,b≥0.利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論,對(duì)于算子方程(3.1.1)得到以下兩個(gè)主要定理.定理3.2.2設(shè)α-γβ1,其中γ=sgn b我們假設(shè)A：E→E是正線(xiàn)性全連續(xù)算子,B：P→P是α-齊次全連續(xù)算子,且滿(mǎn)足如果λa‖A‖a+(α-β-1)Mβ-1((b-β)/(M(α-1))(α-1/(α-β-1),其中M=supu∈P,‖u‖=1‖Bu‖0,那么對(duì)任意u0∈P且我們有當(dāng)u0=0時(shí),方程(3.1.1)至少存在一個(gè)正解；當(dāng)u0≠0時(shí),方程(3.1.1)至少存在兩個(gè)正解.定理3.2.5設(shè)a0.設(shè)A：E→E是正線(xiàn)性全連續(xù)算子且A‖A‖1,B:P→P是α-齊次全連續(xù)算子而且滿(mǎn)足(3.2.1).如果α-αβ1,或者α=β+1且0bμ,那么,對(duì)任意u0∈P且‖uo‖(α-1)M((α(1-λ‖A‖))/(αM)α/(α-1),其中M=supu∈P,‖u‖=1‖Bu‖0,我們有當(dāng)u0=0時(shí),方程(3.1.1)至少存在一個(gè)正解；當(dāng)u0≠0時(shí),方程(3.1.1)至少存在兩個(gè)正解.作為應(yīng)用,我們考察如下一維Kirchhoff型方程正解的存在性與多重性,其中常數(shù)α,b≥0滿(mǎn)足α+b0,且f∈C(R+,R+),R+:=[0,∞)關(guān)于非線(xiàn)性項(xiàng)f.我們列出下列條件：(f1)存在以下極限(f2)f是單調(diào)遞增函數(shù),且存在c0使得當(dāng)x∈[c,8c]時(shí)恒有f(x)≥kc4,這里3kc3=28a+216bc2.利用定理3.2.2,我們得到關(guān)于一維Kirchhoff型方程(3.1.4)解的多重性結(jié)果.定理3.3.5假設(shè)f滿(mǎn)足(f1)與(f2),那么方程(3.1.4)至少存在兩個(gè)正解.以上主要結(jié)果己發(fā)表,詳見(jiàn)J.Math.Anal.Appl.422(2015)544-558第四章,研究如下Kirchhoff型方程徑向正解的多重性,這里B1={x∈RN:|x|1},αB1={x∈RN:|x|=1},f∈C(R+,R+)及常數(shù)α0,b≥0.在Kirchhoff型方程(4.1.1)中取a=1,b=0,得到橢圓方程為了論證的簡(jiǎn)明性,我們先考察算子方程[a+bφ(x)]x=Ax, (4.1.3)正解的多重性,這里A：P→P是全連續(xù)算子,常數(shù)a0,b≥0.泛函φ：P→R+是連續(xù)的且滿(mǎn)足φ(x)≤k(‖x‖),x∈P,其中κ：R+→R+是連續(xù)非減函數(shù).通過(guò)運(yùn)用Leggett-Williams三解定理,在適當(dāng)?shù)臈l件下我們得到關(guān)于方程(4.1.3)的新三解定理.定理4.2.1設(shè)a≥1.設(shè)A：P→P是全連續(xù)算子,且存在P上非負(fù)連續(xù)凹泛函α,滿(mǎn)足α(x)≤‖x‖,x∈P.又設(shè)存在0d0a0c0滿(mǎn)足(i)當(dāng)x∈Pc0時(shí)恒有||Ax||≤ac0；(ii)當(dāng)x∈Pd0。時(shí)恒有||Ax||ad0；(ⅲ){x∈P(α,a0,c0):α(x)a0)≠(?),且當(dāng)x∈P(a,a0,c0)時(shí)恒有α(Ax)a0[a+ bk(c0)].那么,算子方程(4.1.3)在P_c0中至少有三個(gè)解x1,x2與x3,且滿(mǎn)足‖x1‖d0,‖x2‖d0及α(x2)a0,a0a(x3).定理4.2.3設(shè)a0.設(shè)A：P→P是全連續(xù)算子,且存在P上非負(fù)連續(xù)凹泛函a,滿(mǎn)足α(x)≤‖x‖,x∈P,及α(tx)=tα(x),x∈P,t∈R+又設(shè)存在0d0a0c0滿(mǎn)足(i)當(dāng)x∈Pc0時(shí)恒有‖Ax‖≤ac0；(ii)當(dāng)x∈Pd0時(shí)恒有‖Ax‖ad0；(ⅲ){x∈P(α,a0,c0):α(x)a0)≠(?),當(dāng)x ∈P(a,a0,c0)時(shí)恒有α(Ax)a0[a+ bk(c0)].那么,方程(4.1.3)在民中至少存在三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2與x3,且滿(mǎn)足‖x1‖d0,‖x2‖d0及α(x2)a0,a0α(x3).利用新三解定理4.2.3,對(duì)于維數(shù)N≠2與N=2分別建立了Kirchhoff型方程(4.1.1)與橢圓方程(4.1.2)徑向正解的多重性定理.定理4.3.1設(shè)N≠2且a0.設(shè)存在0doa0c0滿(mǎn)足a0(a+bNωNc02)≤σNac0,使得非線(xiàn)性項(xiàng)f滿(mǎn)足(f1)當(dāng)x∈[0,c0]時(shí)恒有f(x)≤Naco；(f2)當(dāng)x∈[0,d0]時(shí)恒有f(x)Nad0；(f3)當(dāng)x∈[a0,c0]時(shí)恒有f(x)≥a0(a+bNωNc02)/σ.那么,方程(4.1.1)至少有三個(gè)非負(fù)徑向解,其中常數(shù)σ=(?)0εNG(εN,s)ds=1/N2(2/N)2/(N-2)=(εN/N)2/(N-2)=((εN)/N)2.定理4.3.4設(shè)N=2且α0.設(shè)存在0d0a0c0滿(mǎn)足2eao(a+2πbc02)≤ac0,使得非線(xiàn)性項(xiàng)f滿(mǎn)足(f1)當(dāng)x∈[0,c0]時(shí)恒有f(x)≤2ac0；(f2)當(dāng)x∈[0,d0]時(shí)恒有f(x)2ad0；(f3)當(dāng)x∈[a0,co]時(shí)恒有f(x)≥4ea0(a+2πbc02).那么,方程(4.1.1)至少存在三個(gè)非負(fù)徑向解.在定理4.3.1與定理4.3.4中取α=1,b=0,即可得到關(guān)于橢圓方程(4.1.2)徑向正解的名重性結(jié)果
[Abstract]:Nonlinear problems often arise in mathematics, physics and other natural sciences, can well describe various phenomena, so it has been widely concerned by researchers at home and abroad Kirchhoff type equation is a class of nonlinear differential equations is important, about the existence and multiplicity of solutions has been the focus of the researchers. In addition, the existence and multiplicity is also very meaningful solutions of nonlinear operator equations. By using the fixed point index theory is studied for a class of homogeneous solutions of the equations, and the main results of one-dimensional Kirchhoff type equations, the existence and multiplicity of solutions for the. In addition, this paper also uses Leggett-Williams three solution theorem based on the theory of multiple problems of radial Kirchhoff equation solution. Under appropriate conditions, the Kirchhof f鍨嬫柟紼嬬殑涓や釜寰勫悜姝ｈВ.浣滀負(fù)鐩存帴鎺ㄨ,涔熷緱鍒頒簡(jiǎn)妞渾鏂圭▼鐨勪袱涓緞鍚戞瑙，

本文編號(hào)：1371469