本文關鍵詞：高階保能量散逸性方法的理論與應用研究

  更多相關文章： 能量散逸性 高階平均向量場方法 二維Allen-Cahn方程 Cahn-Hilliard方程

【摘要】：在數(shù)學和物理中有一大類偏微分方程,如Allen-Cahn方程,擴散方程,Cahn-Hilliard方程和Ginzburg-Landau方程等.這些偏微分方程所描述的系統(tǒng)具有能量散逸性,即微分方程所描述的系統(tǒng)能量隨著時間的增長會逐漸減少.在數(shù)值模擬中,設計保持微分方程系統(tǒng)能量散逸性的數(shù)值格式對精確地模擬微分方程所描述的系統(tǒng)的行為具有重要的意義.1984年,馮康院士及其研究小組提出了Hamilton系統(tǒng)的辛幾何算法.1997年,在辛幾何算法的基礎上,Bridges和Reich等人提出偏微分方程的多辛算法.辛和多辛算法具有長時間精確計算能力和近似保系統(tǒng)的能量守恒特性已廣泛應用于非線性光學,量子物理,等離子物理以及電磁場方程的計算.近年來,微分方程保能量散逸性的數(shù)值方法在保結構算法研究領域內(nèi)備受關注,然而國內(nèi)還少有人研究.1999年Quispel和McLachlan等人提出了保持微分方程能量散逸性的二階平均向量場方法.Furihata和Matsuo提出了保持微分方程能量散逸性的離散變分導數(shù)方法.最近Quispel等人利用修正平均向量場方法構造了微分方程保能量散逸性的高階平均向量場方法.對于歐式空間或者黎曼流形上的梯度系統(tǒng),能量會隨著時間的增長會單調(diào)遞減.代數(shù)穩(wěn)定的龍格-庫塔方法在適當?shù)牟介L限制下,能量也會逐步減少.尤其是Radau IIA方法,它在剛性梯度系統(tǒng)中能夠保能量單調(diào)性和能量阻尼.離散梯度方法和平均向量場配點法都是保能量的,但是在極度剛性梯度系中并不能減少震蕩.在第一章中,我們討論無約束和含有約束條件下梯度系統(tǒng)的能量下降方法,其中包括隱式龍格庫塔方法和平均向量等方法.在第二章中,提出了Cahn-Hilliard方程的高階保能量散逸性方法.首先理論證明了Cahn-Hilliard方程能量的散逸性,然后在空間上應用傅里葉擬譜方法,時間上應用高階平均向量場方法,構造了高階保能量散逸性格式,最后利用該格式在不同初始條件下進行數(shù)值模擬.數(shù)值結果表明,該格式能很好地模擬了Cahn-Hilliard方程解的行為且保持了Cahn-Hilliard方程能量的散逸性.第三章,我們構造了二維Allen-Cahn方程的高階保能量散逸性格式,并利用該格式對二維Allen-Cahn方程進行了精確的數(shù)值模擬,數(shù)值結果表明二維Allen-Cahn方程能保二維Allen-Cahn方程能量散逸性這一重要物理特性.
【學位授予單位】：海南大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 劉佳蘭;肖愛國;;一類兩步Runge-Kutta方法的代數(shù)穩(wěn)定性[J];高等學校計算數(shù)學學報;2008年03期

，

本文編號：1217195