本文關(guān)鍵詞：微分方程保能量算法的研究

  更多相關(guān)文章： 保結(jié)構(gòu)算法 保能量方法 保能量耗散方法 指數(shù)型積分子 函數(shù)適應(yīng)方法 連續(xù)型Runge-Kutta方法 多辛哈密頓偏微分方程 保局部能量方法

【摘要】：守恒和耗散系統(tǒng)廣泛來(lái)源于天體力學(xué),分子動(dòng)力學(xué),電路模擬,量子力學(xué)和電磁學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域。能量是刻畫守恒和耗散系統(tǒng)的最重要的物理量之一。從保結(jié)構(gòu)算法的角度來(lái)看,好的數(shù)值方法必須盡可能地保持來(lái)源于原連續(xù)系統(tǒng)的離散的物理和幾何結(jié)構(gòu)。保能量或能量耗散方法是一類特殊的保結(jié)構(gòu)算法。他們可以分別保持守恒或耗散系統(tǒng)的首次積分或李雅普諾夫函數(shù)。大量的理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明數(shù)值方法的能量守恒或能量耗散性質(zhì)可以保證線性誤差增長(zhǎng),對(duì)原系統(tǒng)定性性質(zhì)的正確模擬和強(qiáng)有力的數(shù)值穩(wěn)定性等優(yōu)良的數(shù)值特性。針對(duì)守恒或耗散的常微分和偏微分方程,本文致力于構(gòu)造和分析具有優(yōu)良幾何性質(zhì)和極高代數(shù)精度的保能量或能量耗散方法。第一章簡(jiǎn)要地介紹了保能量方法及其相關(guān)方法的背景知識(shí)和我已被接收或發(fā)表的關(guān)于保能量算法的原創(chuàng)性工作。本文剩余內(nèi)容可分為三部分：第二章考慮了具有線性主部的守恒或耗散的常微分系統(tǒng)y'=Q(My+%経(y)), y(t0)=y0∈Rd,其中Q是一個(gè)反對(duì)稱或半負(fù)定矩陣,M是一個(gè)對(duì)稱矩陣.對(duì)于此系統(tǒng),這一章提出并具體分析了一個(gè)二階對(duì)稱保首次積分或李雅普諾夫函數(shù)H(y)=1/2yT My+U(y)的指數(shù)型積分子。如果||QM||遠(yuǎn)大于||QHessU(y)||,該新方法比標(biāo)準(zhǔn)的保能量或能量耗散方法的容許步長(zhǎng)更大,數(shù)值解的精度更高。針對(duì)一般的哈密頓系統(tǒng)y'=J-1%紿(y), y(t0)=y0∈Rd,這里J是一個(gè)常值辛矩陣,第三章構(gòu)造了對(duì)稱的函數(shù)適應(yīng)型保能量方法。通過(guò)擴(kuò)大函數(shù)適應(yīng)空間,這一章在理論上證明了這類方法可以達(dá)到任意高階。往函數(shù)適應(yīng)空間中添加三角函數(shù)對(duì){sin(ωw),cos(ωt)}可以自然地導(dǎo)出了任意高階的三角適應(yīng)型保能量方法。在處理以單個(gè)頻率ω振蕩的哈密頓常微分系統(tǒng)時(shí),新提出的三角適應(yīng)型保能量方法比標(biāo)準(zhǔn)的保能量方法效率更高。第四章考慮了一般的帶一個(gè)時(shí)間變量t和兩個(gè)空間變量x,y的哈密頓多辛偏微分方程Mzt+Kzx+Lzy=%絲S(z,x,y),z=z(x,y,t)∈Rd,這里M,K,和L都是反對(duì)稱矩陣。分別用連續(xù)型Runge-Kutta方法和Gauss-Legendre/擬譜方法離散時(shí)間和空間方向,這一章提出了一個(gè)一般的框架來(lái)構(gòu)造任意高階的保某種離散局部能量律的方法。該離散守恒律是原方程局部能量守恒律(?)t(S-182z τKzx-1/2zτZzy)+(?)x(1/2zτKzt)+(?)y(182zτLzt)=的近似。除此之外,本文還展示了包括刻畫三原子分子的不可分哈密頓系統(tǒng),風(fēng)誘導(dǎo)的振蕩問(wèn)題,α-Fermi-Pasta-Ulam系統(tǒng),擾動(dòng)的Kepler]問(wèn)題,Duffing方程,高頻振蕩的Fermi-Pasta-Ulam問(wèn)題,含一個(gè)或兩個(gè)空間變量的(耦合)非線性薛定諤方程等一系列數(shù)值實(shí)驗(yàn),來(lái)證明文中新方法的優(yōu)秀的數(shù)值特性。
【關(guān)鍵詞】：保結(jié)構(gòu)算法 保能量方法 保能量耗散方法 指數(shù)型積分子 函數(shù)適應(yīng)方法 連續(xù)型Runge-Kutta方法 多辛哈密頓偏微分方程 保局部能量方法
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175
【目錄】：

• Acknowlegements4-7
• 摘要7-9
• Abstract9-11
• 1 Introduction11-21
• 1.1 Structure-preserving algorithms11-14
• 1.1.1 Energy-preserving and -decaying methods12-13
• 1.1.2 Hamiltonian ODEs and symplectic methods13-14
• 1.2 Exponential integrators14-15
• 1.3 Functionally fitted methods15-17
• 1.4 Multi-symplectic PDEs and local energy-preserving methods17-19
• 1.5 Original work associated with this thesis19-20
• 1.6 The outline of this thesis20-21
• 2 Exponential AVF method21-47
• 2.1 Background and motivation21-24
• 2.2 Construction of EAVF for conservative and dissipative systems24-29
• 2.3 Properties of EAVF29-31
• 2.4 Problems suitable for the EAVF31-37
• 2.4.1 Highly oscillatory nonseparable Hamiltonian system31-32
• 2.4.2 Second-order(damped)highly oscillatory system32-35
• 2.4.3 Semi-discrete conservative and dissipative PDEs35-37
• 2.5 Numerical experiments37-46
• 2.6 Conclusions and discussions46-47
• 3 Functionally fitted energy-preserving methods47-78
• 3.1 Background and motivation47-49
• 3.2 Functionally fitted continuous finite element methods49-53
• 3.3 Interpretation as continuous-stage Runge-Kutta methods and order53-65
• 3.4 Implementation issues65-68
• 3.5 Numerical experiments68-75
• 3.6 Conclusions and discussions75-78
• 4 Local energy-preserving methods for multi-symplectic PDEs78-118
• 4.1 Background and motivation78-80
• 4.2 Multi-symplectic PDEs and energy-preserving continuous Runge-Kutta methods80-82
• 4.3 Construction of local energy-preserving algorithms for Hamiltonian PDEs82-94
• 4.3.1 Pseudospectral spatial discretization82-88
• 4.3.2 Gauss-Legendre collocation spatial discretization88-94
• 4.4 Local energy-preserving schemes for coupled nonlinear Schrodinger equations94-98
• 4.5 Local energy-preserving schemes for 2D nonlinear Schrodinger equations98-102
• 4.6 Numerical experiments for coupled nonlinear Schrodingers equations102-112
• 4.7 Numerical experiments for 2D nonlinear Schrodinger equations112-116
• 4.8 Conclusions and discussions116-118
• Bibliography118-127

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1 李雨文;微分方程保能量算法的研究[D];南京大學(xué);2016年

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