【摘要】：量子系統(tǒng)和環(huán)境之間不是完全孤立的。在量子通信過(guò)程中消相干現(xiàn)象使得攜帶信息的量子態(tài)發(fā)生改變。量子糾錯(cuò)碼是解決量子消相干的主要方式之一。如何構(gòu)造好的量子碼是研究量子糾錯(cuò)理論的重要組成部分。量子碼可以利用滿足特殊關(guān)系的經(jīng)典碼構(gòu)造。已有的研究結(jié)果缺少一般性的方法,只能針對(duì)特殊的參數(shù)集合選擇特定的分圓陪集。已有的結(jié)論要求有限域的階是奇素?cái)?shù)的冪,碼長(zhǎng)是固定的表達(dá)式。因此,只能構(gòu)造某一長(zhǎng)度范圍內(nèi)的量子碼。為了解決這些問(wèn)題,本文給出了選擇合適的分圓陪集的一般性方法,從理論上證明了分圓陪集的選擇方案是最好的。在此基礎(chǔ)上,本文提出的構(gòu)造定理設(shè)計(jì)了任意有限域上任意碼長(zhǎng)的量子BCH碼。在實(shí)際的物理系統(tǒng)中,有限域只能刻畫素?cái)?shù)冪階的量子系統(tǒng)。有限環(huán)可以描述任意階的量子系統(tǒng)。目前,對(duì)于有限環(huán)上的量子碼研究較少。本文研究有限環(huán)上的量子碼的構(gòu)造,提出了有限鏈環(huán)上量子碼的構(gòu)造算法。對(duì)于具有特殊結(jié)構(gòu)的Galois環(huán),論文提出了兩種構(gòu)造量子碼的方案。同時(shí),對(duì)于有限域和有限環(huán)上量子碼構(gòu)造之間的聯(lián)系進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析。本文的主要研究?jī)?nèi)容包括以下4個(gè)部分:(1)構(gòu)造有限域上素?cái)?shù)階的量子BCH碼。針對(duì)有限域上階為2的量子BCH碼,已有的方案只研究了碼長(zhǎng)為n=r(q-1)的量子碼。本文研究了其鏡像的碼長(zhǎng)n=r(q+1),補(bǔ)充了已知的結(jié)論。已知的研究只能在F_(q2)域上采用Hermitian構(gòu)造設(shè)計(jì)最小距離為3的量子MDS碼。本文通過(guò)Steane構(gòu)造設(shè)計(jì)任意有限域上最小距離為3的量子MDS碼,豐富了量子MDS碼的構(gòu)造理論。對(duì)于有限域上階為3的量子BCH碼,已有的構(gòu)造方案只能在給定分圓陪集的前提下構(gòu)造量子碼。本文的構(gòu)造定理不需要限定具體的分圓陪集。同時(shí),構(gòu)造定理中可選擇的分圓陪集的區(qū)間更廣。和已有的結(jié)論相比,論文中的構(gòu)造方案可以產(chǎn)生更高維數(shù)和更大最小距離下界的量子BCH碼。因此,構(gòu)造的量子碼的碼空間包含糾錯(cuò)性能更好,數(shù)量更多的碼向量。(2)構(gòu)造有限域上偶數(shù)階的量子BCH碼。通過(guò)合理的分解碼長(zhǎng)表達(dá)式,證明了分圓陪集滿足對(duì)偶包含關(guān)系的必要條件。利用經(jīng)典碼中分圓陪集的基本性質(zhì),確定了合適的分圓陪集。和目前可比較的方案相比,論文采用Steane構(gòu)造可以構(gòu)造新的量子BCH碼。對(duì)于Hermitian構(gòu)造,已知的結(jié)論要求q是奇素?cái)?shù)的冪,或者只能構(gòu)造本原量子BCH碼。論文的構(gòu)造方案可以分別生成任意有限域上本原量子BCH碼和非本原量子BCH碼。(3)構(gòu)造一般條件下的量子BCH碼。對(duì)于任意階的量子碼,已知的結(jié)論只構(gòu)造了q=2或者r=1時(shí)的量子BCH碼。本文推廣了這些構(gòu)造算法。通過(guò)分圓陪集的性質(zhì),論文確定了分圓陪集需要滿足的必要條件,然后全面分析了這些區(qū)間內(nèi)所有分圓陪集生成的經(jīng)典碼能否構(gòu)造量子BCH碼。對(duì)于不同的參數(shù)條件,論文分別給出了不同的構(gòu)造方案。生成的經(jīng)典BCH碼不僅可以構(gòu)造量子BCH碼,而且便于計(jì)算對(duì)應(yīng)量子BCH碼的維數(shù)。最重要的是,選擇的分圓陪集含有最多的連續(xù)整數(shù)。因此,構(gòu)造的量子BCH碼的最小距離的下界達(dá)到最大。本文的構(gòu)造方案在理論和實(shí)際的碼參數(shù)都好于已知的構(gòu)造方法。(4)將量子碼在有限域上的構(gòu)造擴(kuò)展到有限環(huán)上,尤其是具有特殊結(jié)構(gòu)的鏈環(huán)上。通過(guò)研究有限鏈環(huán)上多項(xiàng)式分解和定義集合的性質(zhì),推導(dǎo)出滿足對(duì)偶關(guān)系時(shí)的充要條件,提出了有限鏈環(huán)上量子碼的兩種構(gòu)造方案,并給出了相應(yīng)的構(gòu)造算法。將量子碼在有限域上的構(gòu)造擴(kuò)展到有限鏈環(huán)上,彌補(bǔ)了量子糾錯(cuò)碼理論在有限鏈環(huán)上的不足。論文簡(jiǎn)要分析了有限域和有限環(huán)上量子碼構(gòu)造之間的聯(lián)系。通過(guò)分析正整數(shù)剩余類環(huán)上量子碼的構(gòu)造過(guò)程,將有限環(huán)上量子碼的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)換到Galois環(huán)上量子碼的構(gòu)造問(wèn)題。
【學(xué)位授予單位】：西安電子科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2019
【分類號(hào)】：O413;TN918

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本文編號(hào)：2789787