平面四體問題的中心構(gòu)型
發(fā)布時間:2018-03-01 19:18
本文關(guān)鍵詞: N體問題 四體問題 中心構(gòu)型 Dziobek方程 出處:《吉林大學》2011年碩士論文 論文類型:學位論文
【摘要】:N體問題是天體力學中一個重要的研究領(lǐng)域,同時對數(shù)學家而言,它也是存在很多神秘的領(lǐng)域,正是他們積極探尋的領(lǐng)域.N體問題是十分復(fù)雜且困難的問題,至今仍有很多問題尚未解決,只有N=2的二體問題得到了完整的解決.然而中心構(gòu)型正是研究N體問題的重要工具,其已經(jīng)有一百多年的歷史,但結(jié)果并不完整,只有當N=2,3時的N體問題的中心構(gòu)型得到了完整的結(jié)果.N=4時的四體問題我們知道其分類是有限的,但具體形式仍然不能完全確定,然而平面四體問題的中心構(gòu)型與空間五體問題的中心構(gòu)型有著密切的聯(lián)系,這也正是學者們研究平面四體問題的一個因素.本文主要研究的就是部分等質(zhì)量平面四體問題的中心構(gòu)型的形狀.根據(jù)Newton萬有引力定律以及牛頓第二定律,我們得到N體問題所滿足的運動方程為其中mi是第i個天體的質(zhì)量,ri∈R3,是第i個天體的位置向量,|ri-rj|是向量ri與向量rj間的歐氏距離,G為萬有引力常數(shù).顯然方程(1)是由3N個方程組成的二階常微分方程組.多年的努力,數(shù)學家們得到了N體問題的10個經(jīng)典積分.動量守恒定律質(zhì)心運動守恒定律動量矩守恒定律能量守恒定律其中α,β,γ是積分常向量,δ是積分常數(shù),H是總動能,U是力函數(shù)即為總勢能反號. 直接求解N體問題的顯示解比較困難,所以人們嘗試先解決Homothetic解,HomO-graphic解以及中心構(gòu)型等價類等,定義如下. 定義1設(shè)對某些i≠j},若r=r(t)∈X\△是方程(1)的解,且在質(zhì)心坐標系下,對于t的任意構(gòu)型r(t)與構(gòu)型r(to)相似,則稱r(t)為Homographic解. 定義2構(gòu)型r=(r1,r2,…rn)∈X\△稱為中心構(gòu)型當且僅當存在常數(shù)λ,使得其中λ滿足rij=|ri-rj|表示向量ri,rj之間的歐氏距離,I為轉(zhuǎn)動慣量I=∑i=1n mi|ri|2. 方程(2)稱為中心構(gòu)型方程.如果構(gòu)型r是中心構(gòu)型,那么根據(jù)方程(1)及方程(2)則有ri=λri. (3)從(3)式可以看出,每一個質(zhì)點的加速度的方向都是指向原點的,大小與其到原點的距離成正比,這是中心構(gòu)型一個等價定義. 引理1在質(zhì)量滿足m=(m1,m2,…,mn)時,若構(gòu)型是中心構(gòu)型解,則xEr(t)也是中心構(gòu)型解. 根據(jù)引理1,我們可以定義一個等價類,記為r(t)~xEr(t).顯然,在上述等價類的意義下,中心構(gòu)型對于質(zhì)心坐標系下的正交變換,具有伸縮變換不變性和旋轉(zhuǎn)變換不變性.這樣,在研究中心構(gòu)型的分類問題時,可以只研究每個中心構(gòu)型等價類中的一個元素. 盡管很多關(guān)于中心構(gòu)型解的結(jié)果都是建立在質(zhì)心坐標系下的,但是在研究心構(gòu)型等價類中,為了便于簡化,我們?nèi)杂邢喈敹嗟臅r候需要考慮坐標原點不在構(gòu)型r的質(zhì)心位置的情況.于是就需要如下引理. 引理2在質(zhì)量滿足m=(m1,m2,…,mn)時,如果構(gòu)型r的質(zhì)心不在坐標原點,即非質(zhì)心坐標系,其中心構(gòu)型方程(2)等價于這里是構(gòu)型r的質(zhì)心. 經(jīng)過無數(shù)數(shù)學家的共同的努力,他們在中心構(gòu)型的領(lǐng)域如個數(shù)、形狀以及拓撲性質(zhì)等,都取得了不錯的成績.本文主要用Dziobek方法研究部分等質(zhì)量平面四體問題的中心構(gòu)型,并給出了更為細致的分類. 定理1設(shè)m1=m2,r=(r1,r2,r3,r4)∈(R2)4,構(gòu)成一個非共線平面中心構(gòu)型,若構(gòu)型r是凸構(gòu)型,則必具有對稱性,四個質(zhì)點或者構(gòu)成菱形中心構(gòu)型,滿足條件m1=m2,m3=m4,且四個角屬于(π/3,(2π)/3),或者構(gòu)成箏形中心構(gòu)型,滿足m1=m2,∠1=∠2∈(π/3,(2π)/3);若構(gòu)型r是凹構(gòu)型且質(zhì)點1與質(zhì)點2具有對稱性,則質(zhì)點3和質(zhì)點4必有一點在以質(zhì)點1和質(zhì)點2為邊的等邊三角形內(nèi)部.
[Abstract]:......
【學位授予單位】:吉林大學
【學位級別】:碩士
【學位授予年份】:2011
【分類號】:P132.3
【參考文獻】
相關(guān)期刊論文 前1條
1 謝知福,陳其安;空間五體問題的金字塔中心構(gòu)型(英文)[J];重慶大學學報(自然科學版);2001年02期
,本文編號:1553227
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