【摘要】：數(shù)值流形方法(Numerical Manifold Method,簡(jiǎn)稱NMM)中特有的兩套覆蓋系統(tǒng)(數(shù)學(xué)覆蓋系統(tǒng)和物理覆蓋系統(tǒng))使得其在分析問題時(shí)可采用與物理域邊界不一致的數(shù)學(xué)覆蓋系統(tǒng)。發(fā)展了用于研究功能梯度材料(FGM)二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的NMM。給出了控制方程和邊界條件,介紹了NMM的基本概念,導(dǎo)出了NMM的離散方程,探討了相關(guān)矩陣的求積策略,選取了兩個(gè)典型算例對(duì)方法的可行性和精確性進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果表明該方法可以很好地模擬FGM穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題。
【圖文】：

局部特性的覆蓋函數(shù)可準(zhǔn)確描述待研究的物理問題。從提出至今，已有一些學(xué)者采用NMM研究了熱傳導(dǎo)問題。文獻(xiàn)[17]發(fā)展了非協(xié)調(diào)NMM并分析了無(wú)熱源二維均質(zhì)材料的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題。文獻(xiàn)[18-20]實(shí)現(xiàn)了裂隙巖體的單一溫度嘗溫度場(chǎng)-流場(chǎng)耦合問題、溫度場(chǎng)-應(yīng)力場(chǎng)耦合問題的NMM求解。文獻(xiàn)[21]通過在NMM中引入奇異物理覆蓋思想分析了均質(zhì)材料的穩(wěn)態(tài)熱斷裂問題。縱觀已有的基于NMM的熱傳導(dǎo)研究工作[17-21]，其考察對(duì)象皆為均質(zhì)材料，本文擬進(jìn)一步發(fā)展用于FGM這類非均質(zhì)材料熱傳導(dǎo)問題分析的NMM。2控制方程及邊界條件考慮圖1所示的由各向同性FGM組成的物理域Ω，該域由封閉邊界123Γ=ΓΓΓUU(123Γ、Γ、Γ兩兩無(wú)交集)圍成。根據(jù)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)理論和傅里葉定律，，該問題的控制微分方程為[22](k(X)T)+Q=0(1)其中：為梯度算子；k(X)是隨平面位置X=(x,y)變化的熱傳導(dǎo)系數(shù)；T為溫度；Q為熱源。相應(yīng)的邊界條件為1T=T,(X∈Γ)(2)2(),()TkqΓ=∈XXn(3)3()(),()fTkhTTΓ=∈XXn(4)式中：123Γ、Γ、Γ分別表示第一類、第二類、第三類邊界；T和q分別表示1Γ和2Γ上的溫度和熱流密度；h為物理域表面換熱系數(shù)；fT為環(huán)境溫度；n為外法向量。圖1由FGM組成的物理域及其邊界Fig.1ThephysicaldomainconsistingofFGManditsboundary3NMM求解FGM穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題3.1NMM簡(jiǎn)介NMM以數(shù)值流形為基石，在DDA方法的基礎(chǔ)上，兼顧了FEM的連續(xù)變形分析能力，其核心在于特有的兩套覆蓋系統(tǒng)，即數(shù)學(xué)覆蓋系統(tǒng)和物理覆蓋系統(tǒng)。該方法涉及的主要概念如下。1)數(shù)學(xué)覆蓋(系統(tǒng))：數(shù)學(xué)覆蓋由用于離散物理域的一系列任意形狀的分片組成。其形狀由用戶自定義，可相互重疊。所有數(shù)學(xué)覆蓋的并集稱為

第2期胡國(guó)棟，等：功能梯度材料穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值流形方法研究313(a)物理域(b)數(shù)學(xué)覆蓋系統(tǒng)(physicaldomain)(mathematicalcoversystem)(c)物理覆蓋的生成(generationofphysicalcovers)(d)流形單元的生成(generationofmanifoldelements)圖2NMM基本概念圖示Fig.2IllustrationofthebasicconceptsintheNMM3.2NMM的近似函數(shù)基于3.1節(jié)中描述的概念，對(duì)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題，任一單元e上溫度場(chǎng)的NMM近似函數(shù)可表示為1()()()NhiiiTwT=X=∑XX(5)其中：N是組成單元的物理覆蓋的個(gè)數(shù)；wi是物理覆蓋Pi所對(duì)應(yīng)的權(quán)函數(shù)，它與包含Pi的數(shù)學(xué)覆蓋Mi上定義的權(quán)函數(shù)相同；Ti是定義在Pi上的覆蓋函數(shù)，對(duì)二維問題，常表示為()()iiTX=Pxa(6)其中ai是定義在Pi上的未知量列陣。多項(xiàng)式基P(x)為()=[1,x,y,]LPx(7)3.3NMM總體方程借助變分原理[23]，可得NMM求解FGM穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的總體方程為KΤ=F(8)式中：T為未知量列陣；K和F分別為熱傳導(dǎo)矩陣和等效溫度荷載列陣，其可通過逐單元組裝得到，任一單元e對(duì)K和F的貢獻(xiàn)為()()()()13TTT()dddeeeeiiiikwwwhwΩΓΓΩλΓΓ=++∫∫∫KBXBPPPP(9)()()()()123TTTTddddeeeeeiiiifwQwTwqwhTΩΓΓΓΩλΓΓΓ=++∫∫∫∫FPPPP(10)其中：上標(biāo)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置；eΩ為單元e的積分域，1eΓ、2eΓ、3eΓ分別為與單元e有關(guān)的第一、第二、第三類邊界；λ為用于處理強(qiáng)制邊界條件(即式(2)對(duì)應(yīng)的邊界條件)時(shí)的罰函數(shù)。采用罰函數(shù)法的主要原因?yàn)椋篘MM中的數(shù)學(xué)覆蓋系統(tǒng)的邊界與物理域的邊界可能不重合以及式(6)中的自由度為廣義自由度
【作者單位】： 南昌航空大學(xué)土木建筑學(xué)院;
【基金】：國(guó)家自然科學(xué)基金(11462014) 江西省自然科學(xué)基金(20151BAB202003) 江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ14526)
【分類號(hào)】：TB34

【相似文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前10條

1 高彥峰,王秀峰,羅宏杰;功能梯度材料中的滲流現(xiàn)象及其模型研究[J];陶瓷工程;2000年06期

2 徐智謀,鄭家q

本文編號(hào)：2533783