本文關(guān)鍵詞：幾類美式期權(quán)定價問題的數(shù)值方法

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【摘要】：期權(quán)作為一種套期保值的重要金融工具,能夠有效地規(guī)避風險,指導市場參與者進行投資,在歐美國家一直深受歡迎.近年來,隨著金融市場的不斷完善,以及人們對金融風險的控制需求,使得期權(quán)在中國市場也得到了一定的發(fā)展,各種類型的期權(quán)產(chǎn)品應(yīng)市場參與者的需求而產(chǎn)生,成為金融市場交易的主要產(chǎn)品.與歐式期權(quán)相比,美式期權(quán)具有更大的靈活性,期權(quán)持有者可以在有效期內(nèi)的任何時間,根據(jù)市場價格的變化和本身的實際需要靈活而主動地選擇履約時間,因此美式期權(quán)更受關(guān)注.美式期權(quán)由于具有可提前實施的特點,且其價格隨市場供求關(guān)系而改變,如何選擇最佳實施時刻,以及給出合理的期權(quán)價格,將直接影響買賣雙方的盈虧狀況,這使得美式期權(quán)最佳實施邊界的確定和定價問題成為期權(quán)交易的核心問題.本文主要針對幾類美式期權(quán)的定價問題,進行了系統(tǒng)而深入的研究.以美式看跌期權(quán)為例,從標準美式期權(quán)入手,由簡入繁,逐步研究幾類更復雜的期權(quán).分析各類期權(quán)的求解難點,提出有效的解決途徑,進而設(shè)計出快速高效的數(shù)值方法.本論文主要分為以下四部分:1.美式期權(quán)的概述第一部分我們簡要地回顧了期權(quán)的發(fā)展歷史和分類方式,并以美式看跌期權(quán)為例,重溫了Black和Scholes的重要工作,包括經(jīng)典的Black-Scholes模型滿足的前提假設(shè)、模型的建立及歐式期權(quán)定價公式的推導過程.進一步,針對幾類典型的美式期權(quán)定價問題進行研究,總結(jié)了該問題的研究現(xiàn)狀.在這部分的最后,簡要介紹了本文的主要工作.2.標準美式期權(quán)定價問題在第二章中,主要從標準美式期權(quán)滿足的自由邊界問題出發(fā),構(gòu)造了一種有效的、快速的、實用的數(shù)值方法.由于標準美式期權(quán)存在看漲 看跌期權(quán)平價公式,因此我們只考慮美式看跌期權(quán)的定價問題,其價格V(S,t)滿足的自由邊界問題為:其中B(t)為最佳實施邊界,σ,r,q,K和T分別表示標的資產(chǎn)價格S的波動率、無風險利率、紅利率、敲定價格和合約的到期日.本章對模型(1)現(xiàn)有的研究成果做了一個簡短的綜述,系統(tǒng)地分析了數(shù)值求解該問題的本質(zhì)困難,并針對求解難點,提出了行之有效的處理方案,具體分為兩部分:(a)模型(1)的空間求解區(qū)域左邊界B(t)是一條未知曲線,右邊界為正無窮,即求解區(qū)域既不規(guī)則又無界.幸運的是front-fixing變換能夠較好的解決左邊界問題,將求解區(qū)域由一個曲邊區(qū)域轉(zhuǎn)化為半無窮規(guī)則區(qū)域.對于無界區(qū)域的處理,本文將應(yīng)用完全匹配層(PML)技巧進行截斷,它是一種有效的截斷方法,不僅能使截斷求解區(qū)域相對較小,達到降低計算量的目的,還能夠減小數(shù)值反射,保證計算精度.至此,我們將模型(1)的求解區(qū)域化成了有界規(guī)則區(qū)域.(b)定價模型中的最佳實施邊界B(t)和期權(quán)價格V(S,t)都是未知的,且二者之間存在依賴關(guān)系,如何求解這個耦合系統(tǒng)成為算法是否成功的關(guān)鍵.受前人工作的啟發(fā),我們首先利用有限體積法對簡化后的問題進行離散,然后采用Newton法交替迭代同時得到期權(quán)價格和最佳實施邊界(具體算法參見第二章).(c)數(shù)值模擬驗證了算法的正確性和有效性.3.回望期權(quán)定價問題第三部分由論文的第三章和第四章組成.這一部分主要研究回望期權(quán).與標準美式期權(quán)相比,回望期權(quán)更為復雜,這類期權(quán)在到期日的收益不僅依賴于標的資產(chǎn)當日的價格,還與在期權(quán)整個(或部分)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格的最大值或最小值密切相關(guān).本文主要針對美式回望看跌期權(quán)的定價問題進行研究,對于看漲情形可利用類似技巧進行處理.與標準期權(quán)定價模型相同,美式回望期權(quán)滿足的定價模型同樣有兩種形式:自由邊界問題和線性互補問題.這部分的主要工作就是針對定價模型的兩種不同表述形式,分別提出快速有效的數(shù)值方法,具體步驟如下:?第三章將從美式回望期權(quán)滿足的自由邊界問題出發(fā),構(gòu)造數(shù)值算法.我們介紹美式回望看跌期權(quán)價格V(S,G,t)滿足的自由邊界問題:其中未知函數(shù)B(t)是期權(quán)的最佳實施邊界,σ,r,q和T分別表示標的資產(chǎn)價格S的波動率、無風險利率、紅利率以及期權(quán)的到期日.Gt:=max0≤τ≤t Sτ是一個依賴路徑變量,利用方程描述定價模型時,將其視為獨立變量,簡記成G.通過觀察和分析回望期權(quán)定價模型(2),我們發(fā)現(xiàn)數(shù)值求解該模型的困難在于:(I)定價模型的空間求解區(qū)域為二維無界不規(guī)則區(qū)域(由S=B(t)和S=G圍成的區(qū)域);(II)最佳實施邊界B(t)未知,且與期權(quán)價格V(S,G,t)存在依賴關(guān)系.針對上述的求解難點,我們給出了相應(yīng)的處理技巧:首先,我們通過改變計價單位,將定價問題降維,化成一維有界區(qū)間上的自由邊界問題,進一步,利用Landau變換將曲邊區(qū)域規(guī)則化成[0,1]區(qū)間.這樣,原定價模型就轉(zhuǎn)化成了[0,1]區(qū)間上的非線性拋物問題.接下來,我們針對[0,1]區(qū)間上的非線性拋物問題設(shè)計算法,同時求解出B(t)和V(S,G,t).與標準美式期權(quán)的求解方法類似,我們采用有限體積法離散簡化后的問題,然后利用Newton法交替迭代求解離散系統(tǒng)(具體算法參見第三章).最后,通過數(shù)值實驗驗證了本文所提算法的實用性和有效性.?第四章主要針對美式回望期權(quán)滿足的線性互補問題進行研究,提出更高效快速的求解方法.期權(quán)價格V(S,G,t)滿足的線性互補問題為:其中本章的工作主要從以下幾個方面展開:(a)采用與自由邊界問題相同的技巧,改變計價單位,將定價模型化為一維無界區(qū)間上的線性互補問題.(b)利用最佳實施邊界的已知信息截斷求解區(qū)域,給出精確的邊值條件.通過詳細的討論,得到一維有界區(qū)間上的線性互補問題對應(yīng)的變分不等式.需要強調(diào),為了保證變分形式的對稱正定性質(zhì),在推導過程中,我們采用了一些有技巧性的變換吸收了問題的一階項.(c)采用有限元方法離散得到的變分不等式,并利用投影收縮算法加速求解離散后的系統(tǒng).此外,我們對離散矩陣的對稱正定性也進行了嚴格的證明(具體算法參見第四章).(d)數(shù)值模擬充分驗證了投影收縮算法在計算速度上的優(yōu)勢.4.多資產(chǎn)期權(quán)的定價問題在第五章中,我們主要對美式多資產(chǎn)期權(quán)定價問題進行了系統(tǒng)的研究.多資產(chǎn)期權(quán)是一種特殊的奇異期權(quán),它是多種標的資產(chǎn)期權(quán)的投資組合,可起到不同于單資產(chǎn)期權(quán)的套期保值效果.與標準美式期權(quán)相比,多資產(chǎn)期權(quán)的定價模型是一個高維自由邊界問題或線性互補問題,更難求解.本章將以美式看跌期權(quán)為例研究多資產(chǎn)期權(quán)的定價問題,設(shè)計出高效的數(shù)值算法.為討論方便,我們僅考慮兩種標的資產(chǎn)的情形,一般情形可以類推.設(shè)美式多資產(chǎn)看跌期權(quán)價格V(S1,S2,t)滿足其中定價模型(4)是一個二維無界區(qū)域上的拋物型線性互補問題,在數(shù)值求解該問題時,我們將會遇到以下困難:(I)空間求解區(qū)域為二維無界區(qū)域,難以直接應(yīng)用數(shù)值算法;(II)提出合理的算法求解線性互補問題,得到期權(quán)價格V(S1,S2,t).對于前者,我們采用完全匹配層(PML)技巧進行處理,該方法是一種對無界域問題截斷的有效方法.它是在求解區(qū)域的截斷處添加一個非反射的吸收層,減弱數(shù)值反射的影響,進而保證計算精度.對于后者,我們通過引入懲罰項的方法將線性互補問題化為一個非線性拋物問題.進一步,構(gòu)造了一種半隱半顯有限元方法(對于非線性項采用顯式形式,其他項用隱格式)求解該問題(具體算法參見第五章).為了說明所提算法的有效性,本文也做了一些重要的理論分析和數(shù)值模擬,主要包括:對半隱半顯有限元方法給出了收斂性分析;并對數(shù)值解的非負性給出了一個簡單的證明;通過將遠場估計(FFE)方法與PML技巧進行對比,驗證了PML技巧的有效性.綜上所述,本文主要基于Black-Scholes模型,研究了幾類有代表性的美式期權(quán)定價問題的數(shù)值方法,從理論上證明了算法的收斂性和解的非負性,從數(shù)值上驗證了本文所提算法的正確性、有效性和實用性.
【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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5 吳春e，

本文編號：1290544