本文關(guān)鍵詞：非線(xiàn)性期望理論及金融市場(chǎng)不確定性　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文　論文類(lèi)型：學(xué)位論文

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【摘要】：本文主要研究了非線(xiàn)性期望理論及金融市場(chǎng)中的不確定性問(wèn)題。文章共有四章,前兩章主要是理論性研究,第一章深入研究了非線(xiàn)性期望乘積空間理論,研究了非線(xiàn)性期望下乘積空間的正則性問(wèn)題以及非線(xiàn)性期望下獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題,是對(duì)非線(xiàn)性期望理論的完善和補(bǔ)充。第二章研究了倒向隨機(jī)微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題及資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題。后兩章主要是應(yīng)用性研究,深入研究了金融市場(chǎng)中的不確定性及非線(xiàn)性期望在金融市場(chǎng)中的應(yīng)用。第三章介紹了非線(xiàn)性期望資產(chǎn)定價(jià)理論,并利用非線(xiàn)性期望理論改進(jìn)了目前國(guó)際上最通用的SPAN保證金系統(tǒng),改進(jìn)SPAN計(jì)算原理,得到了均值-方差不確定性下的SPAN保證金系統(tǒng),可以更為快捷、準(zhǔn)確、穩(wěn)健的度量風(fēng)險(xiǎn)。并用SP500指數(shù)期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。第四章深入探討了金融市場(chǎng)中的不確定性,說(shuō)明了金融數(shù)據(jù)的分布不確定性和描述參數(shù)不確定性在金融市場(chǎng)中客觀存在。深入研究了均值不確定性和方差不確定性在金融市場(chǎng)中的具體表現(xiàn)、估計(jì)方法,并利用均值不確定性構(gòu)建了投資策略。各章節(jié)主要內(nèi)容如下:(一)非線(xiàn)性期望下的乘積空間本章研究非線(xiàn)性期望下的乘積空間理論,主要針對(duì)非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望下乘積空間的正則性及獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題進(jìn)行深入探討,完善了非線(xiàn)性期望乘積空間理論并彌補(bǔ)了之前理論中的不足。本章的結(jié)果主要出自:Gao Q,Hu M,Ji X,Liu G.Product space for two processes with indepen-dent increments under nonlinear expectations.Electronic Communications in Probability 22(2017).本章主要有以下兩部分內(nèi)容:1.非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望下乘積空間的正則性:正則性是概率論中很重要的概念,一般情況下,次線(xiàn)性期望空間并不滿(mǎn)足正則性,而G期望空間滿(mǎn)足正則性([2]),彭實(shí)戈院士在[10]中給出了乘積空間的定義,但是在定義中并未提及正則性,因此一個(gè)自然而然的問(wèn)題就是,對(duì)于給定的正則次線(xiàn)性期望空間,其乘積空間是否依然滿(mǎn)足正則性。為解決這個(gè)問(wèn)題,首先研究?jī)蓚�(gè)正則次線(xiàn)性期望乘積空間的正則性,通過(guò)將經(jīng)典的有限乘積概率空間構(gòu)造推廣到次線(xiàn)性期望情形,可以得知兩個(gè)正則次線(xiàn)性期望空間的乘積空間仍保持正則性,并進(jìn)一步推廣到有限維的情形,得到如下結(jié)論:給定有限個(gè)正則次線(xiàn)性期望空間(Ωi,Hi,(?)_i),i = 1,2,...n,則其乘積空間()也是正則次線(xiàn)性期望空間。再通過(guò)反證法,可將結(jié)論推廣到可列次線(xiàn)性期望空間。進(jìn)一步研究次線(xiàn)性期望下完備乘積空間是否保持正則性,這種情況下問(wèn)題較為復(fù)雜,本文在完備可分的距離空間下,證明了概率表示族是弱緊的及隨機(jī)變量的逼近性質(zhì),最終得到了次線(xiàn)性期望下的完備乘積空間仍保持正則性,整體思路如下:給定正則次線(xiàn)性期望空間(Ωi,Hi,(?)_i),i=1,2,...,n其乘積空間記為(),記()為()的完備化空間。則可以證明()也是正則次線(xiàn)性期望空間,)且存在()上的一族弱緊概率族Pi使得由此可給出有限個(gè)正則次線(xiàn)性期望空間的完備乘積空間問(wèn)題的證明。基于有限個(gè)情形的結(jié)論和隨機(jī)變量的逼近性質(zhì),進(jìn)一步可得如下結(jié)論:給定一列正則次線(xiàn)性期望空間(Ωi,Hi,(?)_i),i≥1,其中(Ωi,ρi為完備可分距離空間,Hi=Cb.Lip(Ωi)。記Ω=,則(Ω,L'(Ω),E為正則次線(xiàn)性期望空間,且滿(mǎn)足Cb(Ω)(?)L'(Ω),其中(Ω,L'/(Ω),1)為(Ω,H,E)的完備化空間。2.非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望下獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間接下來(lái)研究非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望空間中獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題,即對(duì)于給定的兩個(gè)d-維獨(dú)立增量過(guò)程,是否存在一個(gè)非線(xiàn)性期望空間,及一個(gè)定義在空間上的2d-維的獨(dú)立增量過(guò)程,使得其前d-維與后d-維過(guò)程分別同分布于先前給定的兩個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程。這是彭院士[10]中的乘積空間方法無(wú)法解決的。本文通過(guò)離散化的方法,利用胎緊的性質(zhì),提出一種全新的構(gòu)建思路,研究有限維、可列維和不可列維獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題。有限維獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間的主要定理如下:定理0.1.令(Mt)t≥0和(Nt)t≥0是兩個(gè)分別定義在非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)空間(Ω1,H1,E1)和(Ω2,H2,E2)上的d-維獨(dú)立增量過(guò)程,滿(mǎn)足假設(shè)(A)。則存在定義在非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)空間(Ω,H,E)上的2d-維獨(dú)立增量過(guò)程(Mt,Nt)t≥0滿(mǎn)足:(?)進(jìn)一步,如果(Mt)t≥0和(Nt)t≥0是兩個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程,則(Mt,Nt)t≥0也是一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。非線(xiàn)性情形與次線(xiàn)性情形相似,因此本文只討論次線(xiàn)性情形,非線(xiàn)性情形同理可證。進(jìn)一步可知,只需要證明t∈[0,1]的情形即可。在稠密的有限點(diǎn)集Dn={i2-n:0≤i ≤2n上構(gòu)造符合要求的次線(xiàn)性期望空間(Ω,Hn,En):如下定義Hn:記δn = 2-n,(?)如下定義En:Hn→R:Step 1.對(duì)于給定的φ∈Cb.Lip(R2d),滿(mǎn)足對(duì)i≤2n，φ(Xiδn-X(i-1)δn)=φ(Miδn-M(i-1)δn,Niδn-N(i-1)δn)∈Hn定義En[φ(Xiδn-X(i-1)δn)]=E1[ψ(Miδn-M(i-1)δn)],其中ψ(x)=E2[φ(x,Niδn-N(i-1)δn)],(?)x∈Rd Step 2.對(duì)給定的φ(Xδn,X2δn-Xδn,...,X2nδn-X(2n-1)δn)∈Hn,φ∈Cb.Lip(R2n×2d),定義En[φ(Xδn,X2δn-Xδn,...,X2nδn-X(2n-1)δn)]=φ0,其中φ0=En[φ1(Xδn)].引理0.1.按上述方法定義(Ω,Hn,En),那么(1)(Ω Hn,En)構(gòu)成一次線(xiàn)性期望空間;(2)對(duì)每個(gè)1≤i≤2n,Xiδn-X(i-1)δn獨(dú)立于(Xδn,...,X(i-1)δn-X(i-2)δn);(3)(?)(?)由此可知在稠密的有限點(diǎn)集Dn= {i2-n:0 ≤ i≤2n}上,(Ω,Hn,En)即為滿(mǎn)足定理0.1的次線(xiàn)性期望空間,故在有限點(diǎn)上結(jié)論成立。下面將其延拓到連續(xù)點(diǎn)上。易知對(duì)每個(gè)n ≥ 1,有Hn(?)Hn+1.令(?),易見(jiàn)(?)為H的—個(gè)子空間,使得對(duì)每一個(gè)φ∈Cb.Lip(Rm)滿(mǎn)足:若Y1,...,ym ∈(?),則有φ(Y1,...,Ym)∈(?)。下面,我們希望定義一個(gè)次線(xiàn)性期望E:(?)→R。然而,在Hn上En+1[·]≠En[·],這是因?yàn)樵诖尉�(xiàn)性期望下獨(dú)立性的順序是不可交換的。不過(guò),通過(guò)下面的胎緊性引理,仍可以構(gòu)造E:引理0.2.對(duì)每一個(gè)固定的n ≥ 1,令Fkn,κ ≥ n,為(?)在Eκ下的分布.從而{Fkn:k≥ n}是胎緊的.用這一引理來(lái)構(gòu)造次線(xiàn)性期望E:(?)→ R.可得如下引理:引理0.3.設(shè)P = {i2-n:n≥1,0 ≤ i ≤ 2n}.那么存在一個(gè)次線(xiàn)性期望E:(?)-R滿(mǎn)足如下條件:(1)對(duì)每一列(?);(2)對(duì)每一列(?)且(?).通過(guò)以上引理,最終完成了定理0.1的證明。進(jìn)一步研究無(wú)窮個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題。首先,利用相容性構(gòu)造非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望,結(jié)合對(duì)角線(xiàn)法則,將結(jié)論推廣到可列個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間中,主要定理如下:定理0.2.令(Mti)t≥0,i≥ 1是定義在非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望空間(Ωi,Hi,(?)_i),i≥1上滿(mǎn)足假設(shè)的至多可列維獨(dú)立增量過(guò)程,則存在非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望空間(Ω,H,E)及定義在其上的可列維獨(dú)立增量過(guò)程(Mt1,Mt2,...,Mti,…)t≥0滿(mǎn)足:(?)進(jìn)一步,如果(Mti)t≥0,i ≥ 1是至多可列維平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程,則同理可得(Mt1,Mt2…,Mii,…)t≥0也是可列維平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程。進(jìn)一步推廣到不可列個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題,注意到對(duì)角線(xiàn)法則方法在不可列個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間問(wèn)題上并不適用,因此無(wú)法利用之前的方法得到想用的結(jié)論。因此我們定義上獨(dú)立增量過(guò)程,并進(jìn)一步給出不可列維上獨(dú)立增量過(guò)程的定義:給定非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望空間(Ω,H,E),X,y分別是其上的m-維和n-維隨機(jī)向量,稱(chēng)Y上獨(dú)立于X,若對(duì)任給的(?)φ∈Cb.Lip(Rm×n),都有給定非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望空間(Ω,H,E),(Xt)t≥0為此空間上的d-維隨機(jī)過(guò)程,若對(duì)(?),都有Xt+s-Xt上獨(dú)立于(Xt1,...,Xtm),則稱(chēng)(X不)t≥0為上獨(dú)立增量過(guò)程。進(jìn)一步的,若對(duì)(?)t≥ 0還有(?),則稱(chēng)(Xt)t≥0為平穩(wěn)上獨(dú)立增量過(guò)程。設(shè)(Mtλ)t≥0,λ ∈I是非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望空間(Ω,H,E)上的一族隨機(jī)過(guò)程,其中,I為不可列集。如果對(duì)(?)都有(Mtλ1,Mtλ2,…,Mtλn)t≥0..,是n-維上獨(dú)立增量過(guò)程,則稱(chēng)(Mtλ)t≥,λ ∈ 為不可列上獨(dú)立增量過(guò)程。進(jìn)一步的,若對(duì)(?),n,都有(Mtλ1,Mtλ2,...,Mtλn...,)t≥0是n-維平穩(wěn)上獨(dú)立增量過(guò)程,則稱(chēng)(Mtλ)t≥0 ∈ J為不可列平穩(wěn)上獨(dú)立增量過(guò)程。給出不可列個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程的乘積空間的主要定理:定理0.3.令(Mtλ)t≥0,λ∈I(其中I為不可列集)是一族定義在非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)空間(Ωλ,Hλ,Eλ)上的不可列個(gè)1-維獨(dú)立增量過(guò)程,滿(mǎn)足:(C1)存在次線(xiàn)性期望Eλ:Hλ →R分別控制Eλ,λ ∈I;(C2)對(duì)每個(gè)t ≥ 0,Mtλ的分布在Eλ下是胎緊的;對(duì)每個(gè) t≥ 0,λ ∈I,有(?)則存在一個(gè)非線(xiàn)性(resp.次線(xiàn)性)期望空間(Ω,H,E),及定義在其上的不可列維上獨(dú)立增量過(guò)程(Mtλ,λ∈I)t≥0滿(mǎn)足:進(jìn)一步,如果(Atλ)t≥0,λ ∈I是1-維平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程,則(Mtλ)t≥0,λ ∈I是不可列維平穩(wěn)上獨(dú)立增量過(guò)程。(二)BSDE隨機(jī)控制及不完備市場(chǎng)資產(chǎn)定價(jià)本章主要研究帶有廣義效用泛函的FBSDE隨機(jī)控制最大值原理問(wèn)題及不完備市場(chǎng)定價(jià)問(wèn)題。本章的結(jié)果主要出自:1)Gao Q,Yang S.Maximum principle for forward-backward SDEs with a general cost functional.International journal of control(2016):1-7.2)Gao Q,Yang S.Pricing of contingent claims in an incomplete market with finite state stochastic processes in discrete time,Completed Manuscript,1-10.本章主要有以下兩部分內(nèi)容:1.帶有廣義效用泛函的FBSDE隨機(jī)控制最大值原理彭實(shí)戈院士([53],[29])第一次介紹了由倒向隨機(jī)微分方程或正倒向隨機(jī)微分方程驅(qū)動(dòng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,并得到了很多研究者的進(jìn)一步推廣,如Xu[57],Lim and Zhou[24],Shi and Wu[54]等。在[29]中,彭院士首次研究了如下正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題:其效用泛函為:事實(shí)上,上述效用泛函中的h(·)和γ(.)可能不僅僅依賴(lài)于終端條件(t=T)和起始條件(t = 0),通常情況下,還會(huì)依賴(lài)于全局時(shí)間條件(t ∈[0,T]).也就是說(shuō),效用泛函中h(·)和γ(.)不僅由起始和終端這兩個(gè)特殊時(shí)間點(diǎn)決定,還依賴(lài)于更一般的全局時(shí)間條件。在本文中,我們會(huì)研究帶有如下依賴(lài)于全局時(shí)間條件的廣義效用泛函的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)最大值原理,其中,注意到效用泛函(0.2)是上述廣義效用泛函(0.3)的一個(gè)特殊形式,也就是說(shuō),廣義效用泛函(0.3)考慮到了更一般的情況,是對(duì)經(jīng)典隨機(jī)控制問(wèn)題的十分有意義的推廣,而在本文之前,帶有(0.3)形式廣義效用泛函的控制系統(tǒng)的最大值原理問(wèn)題還未被認(rèn)真研究。利用Frechet導(dǎo)數(shù)的框架,可以構(gòu)建一系列需要逐步求解的伴隨方程,從而推導(dǎo)出相應(yīng)的最大值原理。最大的難點(diǎn)在于如何得到對(duì)應(yīng)的伴隨方程。本文利用Riesz表示定理與Frechet導(dǎo)數(shù)的框架相結(jié)合,使Frechet導(dǎo)數(shù)Dxh(x[0,引)和Dxγ(y[0,T])可以被相對(duì)應(yīng)的有限測(cè)度μ和β描述。將測(cè)度μ和β分解為連續(xù)部分和跳躍部分,可以構(gòu)建一系列的伴隨方程,并通過(guò)逐步解這些伴隨方程得到相對(duì)應(yīng)的最大值原理。并且為了更直觀的展示本文研究的帶有廣義效用泛函的隨機(jī)控制系統(tǒng)與經(jīng)典情況的不同,本章最后通過(guò)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行直觀的展示。本章簡(jiǎn)要過(guò)程如下:令U為R上的非空凸子集.記u = {u(·)∈M2(R)|u(t)∈U,a.e.,a.s.}。令u(·)是一個(gè)最優(yōu)控制,(x(·),y(·),z(·))為對(duì)應(yīng)的軌道,記= u(·)+ρu(·),0 ≤ ρ ≤ 1,u(·)+ w(·)∈ u,.因?yàn)閡是凸的,因此up∈u。引入變分方程,易知變分方程存在唯一解(∈(·),η(·),ζ(·)),記(xρ(·),yρ(·),zρ(·))為所對(duì)應(yīng)的軌道,并進(jìn)一步可證明其收斂性質(zhì)。進(jìn)而在C([0,r])中給出Frehet導(dǎo)數(shù)的概念,并在Frechet導(dǎo)數(shù)的框架下,對(duì)于h(x[0,T]和γ(y[0,T),利用Riesz表示定理,在[0,T]上分別對(duì)應(yīng)存在唯一有限 Borel 測(cè)度μ和 使得(?)η[0,T]∈C([0,T])因?yàn)棣毯挺率荹0,T]上的有限測(cè)度,至多存在可數(shù)的正測(cè)度。將其記作為了得到最大值原理,引入下列形式的伴隨方程,需要注意的是,在這種情況下,需要引入一系列伴隨方程:其中μ'(t)是μ(t）的導(dǎo)數(shù),li+是li的右極限,定義p(l1+)= 0,其中β'(t)是β(t)的導(dǎo)數(shù),si是si的左極限,定義q(s1)= 0.可證存在一組(p(·),k(·),q(·))是伴隨方程的解。又因?yàn)閡(·)是一個(gè)最優(yōu)控制,因此,可得如下變分不等式成立:如下定義漢密爾頓方程H:R×R×R×R×[0,r]-R:H(x,y,z,u,p,k,q,t)= pb(x,u,t)+ kσ(x,u,t)+ qg(x,y,z,u,t)+ f(x,y,z,u,t)相應(yīng)的可以利用漢密爾頓方程改寫(xiě)伴隨方程:因此可以得到主要定理,定理0.4.假設(shè)條件(i)-(iii)成立,今u(·)是一個(gè)最優(yōu)控制并令(x(·),y(·),z(·))是相對(duì)應(yīng)的軌道,則有2.不完備市場(chǎng)資產(chǎn)組合定價(jià)當(dāng)市場(chǎng)完備時(shí),每一個(gè)衍生品收益都可以被市場(chǎng)中的一個(gè)投資組合復(fù)制,其價(jià)格可以由完備市場(chǎng)無(wú)套利理論得出。而在不完備的市場(chǎng)中的定價(jià)問(wèn)題較為復(fù)雜,本文運(yùn)用隨機(jī)控制的方式來(lái)研究最高價(jià)與最低價(jià),利用有限時(shí)間有限狀態(tài)過(guò)程下的廣義Girsanov變換對(duì)未定權(quán)益或期權(quán)定價(jià)。本文的研究是對(duì)[35]中研究的進(jìn)一步擴(kuò)展。任一概率測(cè)度被稱(chēng)為一個(gè)P-鞅測(cè)度,如果在FT上等價(jià)于P并且其折現(xiàn)價(jià)格過(guò)程為鞅。我們將所有的P-鞅測(cè)度記作P。需要注意的是,在完備市場(chǎng)中,P = {Q},其折現(xiàn)過(guò)程唯一,存在唯一的自融資策略,定價(jià)可以通過(guò)無(wú)套利原則得出,衍生產(chǎn)品價(jià)格可以被基礎(chǔ)產(chǎn)品的投資組合復(fù)制。而在不完備市場(chǎng)中,存在多個(gè)P-鞅測(cè)度,因此并不存在唯一的自融資策略,定價(jià)也難以通過(guò)無(wú)套利推導(dǎo)得出,市場(chǎng)存在多種報(bào)價(jià)(賣(mài)方報(bào)價(jià),買(mǎi)方報(bào)價(jià)),需要關(guān)注的是市場(chǎng)的最大價(jià)格和最小價(jià)格。在完備市場(chǎng)中,對(duì)于給定的未定權(quán)益U,存在y≥0和投資組合策略ω滿(mǎn)足如下方程其中y是t = 0的無(wú)套利價(jià)格。記M(t)=θ(t)+ M(t),則在不完備市場(chǎng)中U存在多種價(jià)格,t = 0,U的最小價(jià)格(下價(jià)格)為infP∈PEP(Ud),U的最大價(jià)格(上價(jià)格)為 suP∈PEP(Ud).利用最優(yōu)控制方法我們可以對(duì)最小最大價(jià)格進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究。U在時(shí)刻t的最大可能價(jià)格為J(t)=esssupλ∈(?)EPλ[Ud|Ft],其中Pλ表示所有滿(mǎn)足如下形式的關(guān)于P的Girsanov變換的概率測(cè)度:其中,其具有以下性質(zhì):定義過(guò)程f(t):f(t)=A(t)-j(t),則f(t)是一個(gè)增過(guò)程,可得特別的,t=T時(shí),有U在時(shí)刻的最小可能價(jià)格為K(t)= essin fv(?)Epv)[Ud|Ft],類(lèi)似最大價(jià)格的推導(dǎo)可知,存在一個(gè)投資組合過(guò)程φ(t)和一個(gè)右連續(xù)減過(guò)程g(t,g(0)=0滿(mǎn)足(三)非線(xiàn)性期望下的SPAN保證金本章研究非線(xiàn)性期望理論在保證金計(jì)算中的應(yīng)用。本部分結(jié)果出自:高強(qiáng),楊淑振等.基于市場(chǎng)復(fù)雜性的新型保證金計(jì)算工具,第四屆全國(guó)金融期貨與期權(quán)研究大賽獲獎(jiǎng)?wù)撐?全國(guó)一等獎(jiǎng)),1-46,2014.首先介紹了保證金制度和國(guó)際主流的保證金計(jì)算系統(tǒng),并對(duì)國(guó)際上最成熟通用的保證金管理系統(tǒng)SPAN進(jìn)行了深入分析,介紹了 SPAN保證金的計(jì)算原理:其最核心的價(jià)格偵測(cè)風(fēng)險(xiǎn)模塊基于情景模擬法,預(yù)估未來(lái)標(biāo)的價(jià)格和波動(dòng)率的變化,將未來(lái)市場(chǎng)劃分為16種可能情形,分別計(jì)算16種情形中的可能損失,取其中的最大值作為最大預(yù)期損失,以此制定相應(yīng)的保證金標(biāo)準(zhǔn)。此外,SPAN保證金還包括跨月價(jià)差風(fēng)險(xiǎn)、交割月風(fēng)險(xiǎn)值、商品間價(jià)差折抵、空頭期權(quán)最低風(fēng)險(xiǎn)值等。分析SPAN保證金的優(yōu)缺點(diǎn),指出其只計(jì)算了 16種情形,無(wú)法涵蓋未來(lái)市場(chǎng)的多種可能性,并且理論基礎(chǔ)是Black-Scholes公式,其假設(shè)波動(dòng)率是一個(gè)常數(shù),因此不能估計(jì)波動(dòng)率不確定下的風(fēng)險(xiǎn)。進(jìn)一步分析了國(guó)際上其他SPAN改進(jìn)系統(tǒng)的改進(jìn)原理并利用SP500股指期權(quán)數(shù)據(jù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)SPAN系統(tǒng)(SPAN16)和改進(jìn)SPAN系統(tǒng)(SPAN-44和SPAN-93)進(jìn)行了實(shí)證分析比較,發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的SPAN保證金系統(tǒng)劃分了更多種可能情形,在一定程度上更為準(zhǔn)確的度量了風(fēng)險(xiǎn),但是同時(shí)也加大了計(jì)算量,并且無(wú)法解決真實(shí)市場(chǎng)中波動(dòng)率不確定性帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。接下來(lái)介紹非線(xiàn)性期望理論中的三個(gè)重要分布:最大分布,G-正態(tài)分布和G-分布,以及對(duì)應(yīng)的三個(gè)重要的隨機(jī)過(guò)程:G-布朗運(yùn)動(dòng),有界變差G-布朗運(yùn)動(dòng)和廣義G-布朗運(yùn)動(dòng),其增量過(guò)程分別服從之前的三種分布,例如G-布朗運(yùn)動(dòng)的增量過(guò)程服從G-正態(tài)分布。其與金融市場(chǎng)不確定性有著直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系,G-正態(tài)分布、G-布朗運(yùn)動(dòng)與方差不確定性(波動(dòng)率不確定性)直接相關(guān),G-正態(tài)分布隨機(jī)變量可表示為(?),Λ描述了X的方差不確定性,在一維情形下,(?),其中,(?),則方差(波動(dòng)率)不確定性區(qū)間為[σ2,σ2]。最大分布、有界變差G-布朗運(yùn)動(dòng)與均值(收益率)不確定性直接相關(guān),最大分布隨機(jī)變量可記為(?)Θ描述了Y的均值不確定性程度,在一維情形下,(?),其中,μ=E[X],μ=-E[-X],均值不確定性區(qū)間為[μ,μ]。上面的兩個(gè)分布可以非平凡地組合為一個(gè)新的分布,即G-分布,其對(duì)應(yīng)廣義G-布朗運(yùn)動(dòng),與均值-方差不確定性(收益率-波動(dòng)率不確定性)直接相關(guān)。由此,可以給出如下形式的幾何G-布朗運(yùn)動(dòng):dXs =uXsdηs + σXsdBs,Xt = x,其中ηt,≥ 0服從最大分布,Bt,t ≥ 0服從G-正態(tài)分布,且其終端支付函數(shù)為Φ(Xr)。定義風(fēng)險(xiǎn)為u(t,Xt):=E[-Φ(XT),其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解探討其計(jì)算原理,考慮有界邊值問(wèn)題,通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的離散格式離散化上述方程給出上述方程的數(shù)值解法,并可以證明牛頓迭代的收斂性及全隱格式的收斂性。利用非線(xiàn)性期望理論改進(jìn)SPAN保證金系統(tǒng),給出波動(dòng)率不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法:假設(shè)標(biāo)的物(股票或者期貨)Xt滿(mǎn)足G-期望下的幾何布朗運(yùn)動(dòng):其中Bt,t≥ 0服從G-正態(tài)分布,且E[σ2B1]=σ2,E[-σ2B1]=-σ2.其終端支付函數(shù)為Φ(Xr)。定義風(fēng)險(xiǎn)u(t,Xt):=E[-Φ(XT)],其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解其中σ2=((σ+Δσ)2,σ2=(σ2=Δσ)2。則針對(duì)SPAN對(duì)于標(biāo)的價(jià)格的可能變化情形:給出9種可能的變化,其中,波動(dòng)率的可能變動(dòng)范圍在區(qū)間[σt-Δσ,σt+Δσ]內(nèi)連續(xù)取值。取9種情況的最大值作為最大預(yù)期風(fēng)險(xiǎn),將加入波動(dòng)率不確定性的SPAN保證金稱(chēng)為G-SPAN-9。G-SPAN-9下收取保證金為:其中Pt是t時(shí)期的期權(quán)價(jià)格。同理,可以給出均值不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法和均值-波動(dòng)率不確定性下的SPAN保證金。由于篇幅原因,這里只給出均值-波動(dòng)率不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法:假設(shè)股票價(jià)格滿(mǎn)足下面的隨機(jī)微分方程dXs = uXsdηs + σXsdBs,X= x,其中ηt滿(mǎn)足最大分布,Bt滿(mǎn)足G-正態(tài)分布,且(?)(?)其終端支付函數(shù)為Φ(Xr)。定義風(fēng)險(xiǎn):u(t,Xt):=E[-Φ(XT)],其中u(t,Xt)為下面偏微分方程的解(?)(?)其中(?)(?)因此,同時(shí)引入均值不確定性和波動(dòng)率不確定性,只需計(jì)算一種情形,即可得到全面涵蓋標(biāo)的價(jià)格和波動(dòng)率連續(xù)變化的風(fēng)險(xiǎn)值:價(jià)格變動(dòng) 波動(dòng)率變動(dòng) 計(jì)算比例(?)其中 Δx = PSR,Δσ = VSR。此時(shí)G-期望下收取保證金為:ρt,T(Φ(XT))=Pt+E[-Φ(XT)]其中Pt是t時(shí)期的期權(quán)價(jià)格。只需進(jìn)行一次運(yùn)算,即可得到涵蓋更全面風(fēng)險(xiǎn)的運(yùn)算結(jié)果。利用SP500期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,可知,利用非線(xiàn)性期望理論改進(jìn)的G-SPAN保證金不僅運(yùn)算次數(shù)更少,還更全面的考慮了價(jià)格和波動(dòng)率不確定導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn),是一種準(zhǔn)確快捷穩(wěn)健的保證金計(jì)算方式。(四)金融市場(chǎng)的不確定性金融市場(chǎng)中的不確定性主要體現(xiàn)有:金融數(shù)據(jù)分布的不確定性;金融數(shù)據(jù)特征描述參數(shù)的不確定性;金融數(shù)據(jù)的模型不確定性。首先驗(yàn)證金融數(shù)據(jù)分布的不確定性,正態(tài)分布是金融市場(chǎng)中最重要的分布之一,很多金融研究都以正態(tài)分布假設(shè)為基石。金融數(shù)據(jù)分析中,常假設(shè)某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的金融數(shù)據(jù)服從同一分布,比如最常見(jiàn)的,假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布,現(xiàn)在我們選取最能代表金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)特征的滬深300股指和相對(duì)應(yīng)的滬深300股指期貨數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。經(jīng)過(guò)實(shí)際分析,按一天作為窗口長(zhǎng)度進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn),服從正態(tài)性假設(shè)的天數(shù)較少,股指只有不到20%,股指期貨只有不到10%。若按一周為窗口長(zhǎng)度進(jìn)行驗(yàn)證,則服從正態(tài)分布的周數(shù)少于1%,由此可知,正態(tài)分布假設(shè)在金融市場(chǎng)中存在較大問(wèn)題。實(shí)際上,不僅是正態(tài)分布假設(shè)難以成立,在實(shí)際的金融市場(chǎng)中,很難找出一種或者幾種不同的分布,來(lái)準(zhǔn)確描述經(jīng)濟(jì)、金融數(shù)據(jù)的分布。不同金融數(shù)據(jù)展現(xiàn)出不同的數(shù)據(jù)特征,即便是同一金融數(shù)據(jù)的背后,也可能來(lái)源于不同的經(jīng)濟(jì)、金融、社會(huì)原理的共同作用。因此,分布不確定性在金融中客觀存在。除了分布的不確定性,描述數(shù)據(jù)特征的重要參數(shù),比如均值(一階矩)和方差(波動(dòng)率、二階矩),也存在不確定性,收益率和波動(dòng)率亦存在相應(yīng)的不確定性。分析滬深300股指和滬深300股指期貨日收益率的均值和方差,可知其均值方差均存在不確定性,股指期貨的變動(dòng)幅度相較股指的變化更為劇烈,具有更大的不確定性。均值、方差的不確定性亦客觀存在,一段時(shí)間內(nèi),均值和方差在一個(gè)范圍內(nèi)變化,當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠大時(shí),可以認(rèn)為均值、方差在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)變動(dòng)。由此可知,金融數(shù)據(jù)存在分布不確定性和特征參數(shù)的不確定性,同一時(shí)間段內(nèi),同一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象所產(chǎn)生的數(shù)據(jù),并不來(lái)自于同一分布,而是來(lái)自于不同分布,或者說(shuō),來(lái)自于一個(gè)不確定的分布族;其特征參數(shù),比如均值和方差,也并不是確定的數(shù)值,而是在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)變動(dòng)。對(duì)均值不確定性進(jìn)行深入研究,計(jì)算均值不確定性的變動(dòng)區(qū)間。針對(duì)金融市場(chǎng)中重要的均值回歸現(xiàn)象,研究均值不確定性下的均值回歸模型。即均值并不是確定的定值,而是在一個(gè)區(qū)間內(nèi)變動(dòng)。因此,真正的均值回歸,并不是圍繞一條均線(xiàn)進(jìn)行回歸,而是圍繞均值,在一個(gè)均值不確定性區(qū)間進(jìn)行回歸。這個(gè)均值不確定性區(qū)間,可以看作是合理價(jià)格區(qū)間,價(jià)格在這個(gè)區(qū)間內(nèi)波動(dòng)時(shí),被認(rèn)為是合理的,當(dāng)價(jià)格偏離上界或下界時(shí),價(jià)格會(huì)有向合理價(jià)格區(qū)間回歸的趨勢(shì)。設(shè)資產(chǎn)價(jià)格為X,其均值為μ,均值不確定性區(qū)間為[μ,μ],在經(jīng)典均值回歸模型中,當(dāng)Xμ或Xμ時(shí),價(jià)格會(huì)向μ回歸。然而此時(shí)只有μ一個(gè)參數(shù),無(wú)法確定具體的回歸折點(diǎn)。而在均值不確定性框架下,價(jià)格圍繞均值μ變動(dòng),在區(qū)間[μ,μ]中震蕩都被認(rèn)為未偏離均值,是合理的。當(dāng)Xμ或Xμ時(shí),認(rèn)為價(jià)[μ,μ]偏離了均值,會(huì)向均值回歸。由此構(gòu)建投資策略,選用滬深300股指期貨的次月和當(dāng)月合約進(jìn)行跨期套利。投資策略為:價(jià)差超過(guò)μ,賣(mài)近買(mǎi)遠(yuǎn),空頭開(kāi)倉(cāng),價(jià)差回歸到μ時(shí)平倉(cāng)。當(dāng)價(jià)格低于μ時(shí),買(mǎi)近賣(mài)遠(yuǎn),多頭開(kāi)倉(cāng),價(jià)差回歸均值μ時(shí)平倉(cāng)。此外,每筆損失超過(guò)止損線(xiàn)時(shí)提前平倉(cāng),每日結(jié)束時(shí)強(qiáng)行平倉(cāng)。用2015年1月1日-2016年12月31日數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,用五個(gè)指標(biāo)對(duì)策略進(jìn)行評(píng)價(jià):累計(jì)收益率、年化收益率、波動(dòng)率、最大回撤及夏普率。深入研究金融市場(chǎng)實(shí)際情況,充分考慮金融市場(chǎng)流動(dòng)性以及政策性限倉(cāng)問(wèn)題、交易手續(xù)費(fèi)問(wèn)題、交易延遲問(wèn)題、止損問(wèn)題和保證金問(wèn)題。在比較接近實(shí)際金融市場(chǎng)的參數(shù)設(shè)置下(手續(xù)費(fèi)為萬(wàn)分之1,每筆交易限制10手,每筆止損線(xiàn)10%),策略的累計(jì)收益為4倍左右,最大回撤僅為4%左右,夏普率接近6,表現(xiàn)亦十分優(yōu)異。進(jìn)一步分析我國(guó)滬深300股指期貨金融市場(chǎng)的主要發(fā)展階段,針對(duì)不同階段的市場(chǎng)情況分析策略的可行性、適用性和穩(wěn)定性,可知,該策略在大多數(shù)市場(chǎng)階段均有良好表現(xiàn)。實(shí)證回測(cè)結(jié)果明顯優(yōu)于常見(jiàn)的其他均值回歸策略。綜上所述,均值不確定性下的均值回歸策略在理論上更為合理,在實(shí)際模擬中收益較高,回撤較低,夏普率較高,策略表現(xiàn)優(yōu)異,且在不同市場(chǎng)階段均有不錯(cuò)的適應(yīng)性。并且為投資者提供了更多種投資策略供其選擇,是一種較為合理、穩(wěn)定、靈活的優(yōu)秀交易策略。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類(lèi)號(hào)】：F724.5

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：1391371