本文關(guān)鍵詞：常微分方程在經(jīng)濟管理中的地位研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

Vol. 13, No. 1 Jan. , 2010

高等數(shù)學研究 STUDIES IN COLLEGE M AT HEMATI CS

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常微分方程在經(jīng)濟管理中的地位研究
田俊改
( 中國民航大學理學院, 天津, 300300)

摘

要

隨著社會經(jīng)濟的迅速發(fā)展, 高等數(shù)學在經(jīng)濟管理中的應用越來越廣泛 . 常微 分方程作 為高等數(shù)學 的

一個重要組成部分, 本文將對它在經(jīng)濟管理中的 重要應用作初步探索, 主要包括市場 均衡價格 分析、 新產(chǎn)品的銷 售 速度分析、 廣告的效果分析三個方面. 關(guān)鍵詞 常微分方程; 經(jīng)濟管理; 市場均衡價格; 銷售速度; 廣 告. 中圖分類號 O13

隨著社會經(jīng)濟的迅速發(fā)展, 數(shù)學在我們的生活中 可以說無處不在, 尤其是在經(jīng)濟管理中的應用越來越 廣泛. 經(jīng)濟學必須進行定量研究. 而高等數(shù)學是對經(jīng) 濟管理問題進行定量研究的最重要、 最基本的數(shù)學工 具之一. 為了研究經(jīng)濟變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律, 常 常需要建立某一經(jīng)濟函數(shù)及其導數(shù)所滿足的關(guān)系式, 并由此確定所研究函數(shù)的形式, 從而根據(jù)一些已知條 件來確定該函數(shù)的表達式. 從數(shù)學上講, 就是建立微 分方程并求解微分方程. 用微分方程解決問題時總有 三個主要過程: 第一步是建模, 即根據(jù)實際問題建立起適當?shù)奈?分方程, 給出其定解條件. 這需要對問題有深刻的理 解, 并進行必要的假設(shè), 忽略一些 次要因素, 選取變 量, 從這些變量之間的關(guān)系建立起 所滿足的微分方 程, 給出定解條件. 這就是將實際 問題數(shù)學化. 第二 步, 求解所建立的微分方程, 這包括求出它的解析解 或者數(shù)值解, 或者從微分方程分析變量的變化規(guī)律. 第三步是對所得的數(shù)學結(jié)果進行翻譯, 用來解釋一些 現(xiàn)象, 或?qū)栴}的解決提出建議或方法. 本文將通過具體模型來研究和介紹微分方程在 經(jīng)濟管理中的重要應用. 主要包括 市場均衡價格分 析、 新產(chǎn)品的銷售速度分析、 廣告的效果分析等三個 方面. 1 市場均衡價格分析 設(shè)有某種商品, 其價格主要由 市場供求關(guān)系決 定, 或者說, 該商品的供給量 Qs 與需求量 Q d 只與該 商品的價格 P 有關(guān). 為簡單起見, 設(shè)供給函數(shù)與需求
收稿日期: 2007 - 04 - 04. 基金項目: 中國民航大學校內(nèi)科研項目( 04 - CAUC - 21S) . 作者簡介: 田俊改( 19732) , 女, 河北保定人, 碩士, 中國 民航大學講師, 研究方向為應用數(shù)學. E _ mail: t sweet @ 163. com

函數(shù)分別為 Qd = A B ( A B> 0) , - p , Qs = - C+ D ( C, D> 0) . P 求得供需相等時的價格為 P e = A+ C . B+ D 稱 1e 為該種商品的均衡價格. 一般地說, 當市場上該商品供過于求( Qs > Qd ) 時, 價格將下跌; 供不應求 ( Qs < Q d ) 時, 價格將上 漲. 因此, 該商品在市場上的價格將隨著時間的變化 而圍繞著均衡價格 P e 上下波動, 價格 P 是時間 t 的 函數(shù) P ( t ) . 根據(jù)上述供求關(guān)系變化影響價格變化的 分析, 可以假設(shè) t 時刻價格P ( t) 的變化率 dP 與t 時刻 dt 的超額需求量 Q d - Q s 成正比, 即設(shè) dP = K ( Qd - Qs ) , dt 其中 K 為正常數(shù), 它反映價格的調(diào)整速度. 將( 1) 式代入( 2) 式可得 dP = K [ A+ C- ( B+ D P ] = ) dt K ( B+ D ) A C + - P = B+ D ( 2) ( 1)

當供給量與需求量相等時, 即 Q s = Qd , 由( 1) 式

K ( B+ D ( P e - P ) . ) 令 K= K ( B+ D , 則 ) dP = K P e - P ) . ( dt 上式是一階可分離變量的微分方程, 其通解為
t P ( t) = P e + ce- K .

假設(shè)初始價格 P ( 0) = P 0 , 代入上式得 c = P 0 - P e. 于是, 上述市場動態(tài)均衡價格模型的解為

50 P ( t) = P e + ( P 0 - P e ) e- Kt . 由 K> 0 知 limP ( t) = P e . ty ]

高等數(shù)學研究

2010 年 1 月

根據(jù)( 5) 式可求出它的一階、 二階導數(shù): Xc( t ) = cK re - Kr t , 1 + ce Xd( t) = cK r ( ce - K rt - 2 1) . ( 1+ ce ) 不難看出, 當 Xc( t ) > 0 時, X( t ) 單調(diào)增加, 由 Xd( t) = 0 得出 ce- K rt 0 = 1, 此時 X( t 0 ) = K . 2 當 t < t0 時, Xd( t) > 0 , 即Xc( t) 單調(diào)增加, 這表示在銷 售量小于最大需求量的一半時, 銷售速度 Xc( t) 不斷增 大; 當 t > t0 時, Xd( t) < 0 , 即 Xc( t) 單調(diào)減小, 這表示 在銷售量達到最大需求量的一半時( t = t0 ) , 產(chǎn)品最暢 銷, 其后( 即 t > t0 ) , 銷售速度 Xc( t) 開始下降. ( 4) 基于對 Logist ic 曲線的 分析, 國外研究 普遍認 為: 從 20% 用戶到 80% 用戶采用某一新產(chǎn)品的這段 時期, 應是該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較合適的時期, 初期應采用小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳, 后期則應適 時轉(zhuǎn)產(chǎn), 這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效益. 3 廣告效果的分析 信息社會使廣告成為調(diào)整商品銷售的強有力手 段, 廣告與銷售之間有什么內(nèi)在聯(lián)系? 如何評價不同 時期的廣告效果?這也需要借助數(shù)學模型進行研究. 首先認為廣告對產(chǎn)品的銷售速度又直接的促進 作用, 以銷售速度為研究對象, 設(shè) s( t) 為時刻 t 的產(chǎn) 品銷售速度, 并作以下假設(shè): ( ?) 不考慮廣告作用時, 銷售速度具有自然衰 減的性質(zhì), 即產(chǎn)品銷售速度隨著時間而減少, 滿足這 一性質(zhì)的銷售速度 ds = - K t) , s( dt 其中 K為衰減因子. ( 5) ( ?) 產(chǎn)品的銷售速度會因廣告而增加, 但增加 是有一定限度的, 當產(chǎn)品在市場上趨于飽和時, 銷售 速度將趨于極限值, 這時無論采取哪種形式做廣告 ( 不包括其他的促銷手段) , 都不能使銷售速度增加. 假設(shè) M 為銷售飽和水平, 即市場對產(chǎn)品的最大容 納能力, 它對應著銷售速度的上限. 當銷售速度達到飽 和水平之后, 廣告已不起作用, 銷售速度隨時間增加而 自然衰減, 同樣 K為衰減因子, K> 0 且為常數(shù). ( ?) 產(chǎn)品的銷售速度與廣 告的投入水平有關(guān), 設(shè) A( t) 為時刻 t 單位時間的廣告投入水平( 以費用表
3 2 - Kr t 2 - K rt

這表明, 實際價格 P ( t) 最終趨向于均衡價格 P e . 2 新產(chǎn)品的銷售速度分析 對于開發(fā)的某種新產(chǎn)品, 生產(chǎn)者非常關(guān)心它的銷 售速度. 那么, 怎樣建立一個數(shù)學模型來描述它, 并由 此分析出一些有用的結(jié)果以指導生產(chǎn)呢? 記時刻 t 時已售出的新產(chǎn)品數(shù)為X ( t) , 假設(shè)該產(chǎn) 品使用方便, 這些正在使用的新產(chǎn)品實際上起著宣傳 的作用, 吸引著尚未購買的顧客, 設(shè)每一個新產(chǎn)品在 單位時間內(nèi)平均吸引 K 個顧客, 由此可知, X ( t) 滿足 微分方程: dX = KX , dt X ( 0) = 0. 其解為: X ( t) = X 0e .
Kt

( 3)

若取 t = 0 表示新產(chǎn)品誕生的時刻, 則 X( 0) = 0, 由( 4) 式得 X ( t) = 0, 這一結(jié)果與事實不符. 模型( 3) 只考慮了實物廣告的 作用, 而忽略了廠家可以通過其他方式宣傳新產(chǎn)品, 從而打開銷路的可能性. 若通過努力已有 X 0 的產(chǎn)品 投入使用, 這時 X( t) 在開始階段的增長情況 與( 4) 式的結(jié)果擬合較好. 在( 4) 式中, X( t ) y ] ( t y ] ) , 這也與事實不符. 事實上, X( t) 應當有一個上界, 設(shè) 需求 量 的 上 界 為 K, 則 尚 未 使 用 新 產(chǎn) 品 的 戶 數(shù) 為 K - X ( t ) , 由統(tǒng)計規(guī)律可知, dX 與 X ( K - X) 成 dt 正比, 比例系數(shù)為 r, 則 dX = rX ( K - X ) , dt 它的解為 X( t ) = K . 1 + ce- Kr t

曲線 X ( t) 稱為增長曲線, 或稱為 Logist ic 曲線, 如圖 1 所示.

圖 1 產(chǎn)品銷售的 Logistic 曲線

示) , p 為投入的響應系數(shù), 即投入 A( t) 對銷售速度

第 13 卷第 1 期

田俊改: 常微分方程在經(jīng)濟管理中的 地位研究
s( t ) = s( S) eK( S 1) , t\ S

51 . ( 9)

的影響力, p 為常數(shù). 根據(jù)上述假設(shè), 有: ds = pA ( t ) 1 - s( t) - K t) . s( ( 6) M dt 上式右端的第一項反映出廣告投入對銷售速度 的影 響, 1 - s( t ) 相 當 于 一 個 開 關(guān) 函 數(shù), 顯 然 M

綜合( 8) 式( 9) 式, 在( 7) 式的條件下, 產(chǎn)品銷售速度 廣告模型的解可以寫為: c - bt - bt ( 1- e ) + s0 e , 0 < t < S, s( t) = b
( s( S) e K S- 1) , t \ S.

銷售速度隨時間的變化情況如圖 2 所示.

當 A( t) = 0 或 s = M 時, 都有 ds = - K t) . s( dt 式( 6) 右端第二項表明銷售速度自然衰減的特征. 為確定 A( t) 的形式, 假設(shè)選擇如下廣告策略: ( 7) 0, t \ S . 即在時間 S內(nèi)平均投入常數(shù) A 的資金來做廣告, 在此 條件下求解( 6) 式. 在時間段( 0, S) 內(nèi), 假設(shè)已知用于廣告的總投入 為 a, 那么單位時間投入 A = A S, / 代入( 6) 式, 整理有: ds + ( K+ p a ) s = p a . dt M S S 令 K+ p a = b, pa = c, M S S 則有 ds + bs = c. dt 其通解為: s( t) = C1 e- bt + c , b 其中, C1 為積分常數(shù). 若初始時刻銷售速度 s( 0) = s0 , 那么: s( t ) = c ( 1- e- bt + s0 e- bt ) , 0 < t < S. ( 8) b 當 t \ S時, 根據(jù)( 7) 式, A = 0, 則( 6) 式退化為: ds = - K t) , s( dt 其解為: 簡訊
[ 1] 周義倉, 靳禎, 秦軍林 . 常微分方程及其應用[ M] . 北京: 科 學出版社, 2005, 92- 97. [ 2] 同 濟大學應用數(shù)學系. 高等數(shù)學[ M] . 北京: 高等教育出 版 社, 2003, 第五版, 259- 269. [ 3] 厲 以寧. 西方 經(jīng)濟 學[ M] . 北 京: 高 等教 育 出版 社, 2004, 125 - 129. [ 4] 張 從軍, 李輝, 鮑遠圣, 劉玉 華. 常 見經(jīng)濟 問題的 數(shù)學解 析 [ M] . 南京: 東南大 學出版社 2005, 140 - 143. [ 5] 郎 艷懷. 經(jīng)濟數(shù)學方法與模型教程[ M] . 上海: 上海財經(jīng) 大 學出版社, 2004, 25- 36.

A( t ) =

A, 0 < t < S,

圖2

銷售速度隨時間的變化情況

4

結(jié)語

綜上所述, 微分方程在經(jīng)濟管理中有著重要的應 用, 通過建立數(shù)學模型能夠解決很多復雜的實際經(jīng)濟問 題. 本文所述只是微分方程在經(jīng)濟管理中應用的一小部 分, 有待于進一步的探討. 需要指出的是, 使用微分方程 解決問題時, 要根據(jù)實際問題適當?shù)厥褂梦⒎址匠? 隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展, 高等數(shù)學將不僅在經(jīng)濟管 理方面是一個有效的解決問題的工具, 而且在其它領(lǐng) 域, 諸如環(huán)境治理、 人口預測、 傳染病的傳播、 藥物在 人體內(nèi)的分布等方面也會得到越來越多的應用, 為人 們解決越來越多的實際問題.
參考文獻

2009 年國家精品課程公布

國家教育部、 財政部, 年前聯(lián)合公布了經(jīng)評審批準的 2009 年高等教育精品課程, 其中本科類 400 門, 高職高專類 200 門, 網(wǎng) 絡(luò)教育課程 50 門. 本 科/ 數(shù)學類0 精品課程在 公示的 11 門( 見本刊 2009 年第 5 期 第 64 頁) 中 , 除/ 概率 論與數(shù)理統(tǒng)計0 ( 國防科 大) 外, 10 門都獲得通過;/ 統(tǒng)計學類0 公示的 1 門也獲通過. 又, 高職高專的/ 文化教育大類0 中一門/ 經(jīng) 管數(shù)學0 ( 深圳職業(yè)技術(shù) 學院, 雷田禮) 獲批準. 網(wǎng)絡(luò)教育精品課程 ,/ 數(shù)學類0 中有一門/ 高等數(shù)學0( 北航, 李心燦) . 此前, 網(wǎng)絡(luò)教育 課程, 2007 年, 有 一 門/ 高等數(shù)學0( 北郵, 牛少彰) ; 2008 年有:/ 經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)0 ( 中央廣播電 視大學, 李 林曙) ,/ 離散 數(shù)學0 ( 中 央廣播 電視大 學, 李 偉生) ,/ 線性代數(shù)0( 北大, 馬榮權(quán)) 共 3 門課程獲批準.



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