本文選題：二維擴(kuò)散　切入點(diǎn)：參數(shù)估計(jì)　出處：《南京理工大學(xué)》2017年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：微分方程應(yīng)用廣泛,如電子通訊、生物學(xué)、金融期權(quán)定價(jià)和物理學(xué)中分子運(yùn)動等領(lǐng)域.然而,經(jīng)濟(jì)與科技的發(fā)展伴隨著對實(shí)際問題的描述的更高要求,此時(shí)隨機(jī)微分方程中隨機(jī)因素的影響也漸漸引起數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家等的重視,于是科學(xué)家轉(zhuǎn)而研究隨機(jī)微分方程.本文章主要研究,在小噪聲擾動條件下二維擴(kuò)散的參數(shù)估計(jì)問題,研究了快慢系統(tǒng)方程首先,使用了Girsanov定理計(jì)算出關(guān)于二維過程的對數(shù)似然函數(shù),關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)得到極大似然估計(jì),緊接著證明了極大似然估計(jì)的無偏性、強(qiáng)相合性、漸近正態(tài)性和依概率收斂性.其次,運(yùn)用Euler方法得到二維擴(kuò)散的差分方程,計(jì)算得到轉(zhuǎn)移密度函數(shù).隨后得到聯(lián)合概率密度函數(shù)和參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù),計(jì)算出參數(shù)的估計(jì)值,并證明了參數(shù)估計(jì)值的無偏性和強(qiáng)相合性.最后進(jìn)行了數(shù)值模擬,證明了利用Euler估計(jì)方法得到估計(jì)值的有效性.隨著模擬次數(shù)的增多,估計(jì)值更加接近真實(shí)值,此外當(dāng)小擾動ε趨近于0,參數(shù)的估計(jì)值更加接近真實(shí)值,數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果.最后,舉例說明Euler近似估計(jì)在人口預(yù)測方面的應(yīng)用.首先根據(jù)1986至2013-年人口出生率與死亡率計(jì)算出真實(shí)的自然增長率;其次構(gòu)造了自然增長率的數(shù)學(xué)模型,預(yù)測2014至2023年的自然增長率;再次通過1986至2014年全國總?cè)丝诘臄?shù)量,建立了微分方程,利用Euler近似估計(jì)方式計(jì)算出總?cè)丝跀?shù)量的表達(dá)式;最后通過2014至2023年每一年的自然增長率的預(yù)測值得到2014至2023年全國總?cè)丝跀?shù)目的預(yù)測值,得出到2030年全國總?cè)丝诰S持在14.07億左右,為統(tǒng)計(jì)決策作出一些科學(xué)合理的參考。
[Abstract]:Differential equations are widely used in areas such as electronic communications, biology, financial options pricing, and molecular motion in physics. However, the development of economics and technology has been accompanied by higher requirements for the description of practical problems. At this time, the influence of stochastic factors in stochastic differential equations gradually attracted the attention of mathematicians, physicists, and so on, so scientists turned to study stochastic differential equations. In this paper, the problem of parameter estimation for two-dimensional diffusion under the condition of small noise disturbance is studied. Firstly, the logarithmic likelihood function for two-dimensional process is calculated by using Girsanov theorem, and the maximum likelihood estimate is obtained for parameter derivation. Then, the unbiased, strong consistency, asymptotic normality and probabilistic convergence of the maximum likelihood estimation are proved. Secondly, the Euler method is used to obtain the two-dimensional diffusive difference equation. Then the joint probability density function and the logarithmic likelihood function of the parameters are obtained, the estimated values of the parameters are calculated, and the unbiased and strong consistency of the estimated values of the parameters are proved. Finally, the numerical simulation is carried out. The validity of using Euler estimation method to obtain the estimated value is proved. With the increase of the number of simulations, the estimated value is closer to the real value, and when the small perturbation 蔚 approaches zero, the estimated value of the parameter is closer to the real value. The numerical simulation verifies the theoretical results. Finally, an example is given to illustrate the application of Euler approximate estimation in population prediction. Firstly, the real natural growth rate is calculated according to the birth rate and death rate from 1986 to 2013. Secondly, the mathematical model of natural growth rate is constructed to predict the natural growth rate from 2014 to 2023, and then the differential equation is established through the number of the total population from 1986 to 2014, and the expression of the total population quantity is calculated by using the Euler approximate estimation method. Finally, through the forecast value of the natural growth rate of each year from 2014 to 2023, the forecast value of the national population number from 2014 to 2023 is obtained, and the total population of the whole country is maintained at about one billion four hundred and seven million by 2030, which makes some scientific and reasonable reference for the statistical decision.
【學(xué)位授予單位】：南京理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O211.63

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本文編號：1625850