本文關(guān)鍵詞：非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的局部線性工具變量估計(jì)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

　

摘　要: 發(fā)展了一種非參數(shù)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的估計(jì) 方法。 將非參數(shù)單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的局部線性估計(jì)方法與 傳統(tǒng)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的工具變量估計(jì)方法相結(jié)合, 在 隨機(jī)設(shè)計(jì)下, 提出了非參數(shù)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的局部線 性工具變量估計(jì)方法, 并利用大數(shù)定律和中心極限定理等在 點(diǎn)處具有一致性和漸近正態(tài)性, 其收斂速度達(dá)到了非參數(shù)模 型估計(jì)的最優(yōu)收斂速度。

內(nèi)點(diǎn)處研究了該方法的大樣本性質(zhì)。結(jié)果表明: 該方法在內(nèi)

關(guān)鍵詞: 計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型; 非參數(shù)模型; 局部線性估計(jì); 工具 變量估計(jì); 漸近正態(tài)性

中圖分類號(hào): F 224

Abstract: T h is

m odel .

non 2 aram etric sim u ltaneou s equat ion s econom etric m odel A local p . linear estim ation w as u sed w ith in st rum en tal variab les, w hen all variab les w ere random. A local linear estim ation m ethod fo r non 2 aram etric single equation m odel w as com b ined w ith the p T he p roperties under large sam p le size w ere stud ied in in terio r po in ts by u sing large num bers law and cen tral lim it theo rem. T he resu lts show that th is m ethod has con sistency and asym p to tic no rm ality in in terio r po in t s, and its convergence rates are estim ation. Key words: econom et ric m odel; non 2 aram etric m odel; local linear p estim ation; in strum en tal variab le estim ation; asym p to tic no rm ality trad itional in strum en tal variab le m ethod fo r sim u ltaneou s equat ion s equal to the op tim al convergence rate of the non 2 aram etric m odel p

文章編號(hào): 100020054 ( 2002) 0620714204
YE Azhong , L I Z ina i

ISSN 100020054 清華大學(xué)學(xué)報(bào) ( 自然科學(xué)版) 2002 年 第 42 卷 第 6 期 　 CN 1122223 N . J T singhua U n iv ( Sci & T ech ) , 2002, V o l 42, N o. 6

非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的局部線性工具變量估計(jì)
葉阿忠1, 2 , 　李子奈1

(1. 清華大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 北京 100084; 2. 福州大學(xué) 管理學(xué)院, 福州 350002)

經(jīng)濟(jì)模型的研究在近 30 年間得到了迅速的發(fā)展并 趨于成熟[ 1, 3～ 5 ] , 而關(guān)于非參數(shù)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模 型的研究在國際上剛剛起步[ 3 ]。 聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型在經(jīng)濟(jì)政策制定、 經(jīng)濟(jì)

結(jié)構(gòu)分析和經(jīng)濟(jì)預(yù)測方面具有重要作用[ 6 ] , 與傳統(tǒng) 聯(lián)立方程模型相比, 非參數(shù)聯(lián)立方程模型能更好地 描述現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象, 具有較高的擬合優(yōu)度。N ew ey, [7 ] Pow ell 和 V ella 提出了非參數(shù)聯(lián)立方程模型的兩 階段正交序列估計(jì)方法, 并證明其相合性和漸近正 態(tài)性。 但是該方法得出的正交序列系數(shù)沒有經(jīng)濟(jì)意 義, 所依賴的已知條件 Κ( u ) = Κ 是人為確定的, 其收 斂速度未必達(dá)到 Stone [ 8, 9 ] 提出的最優(yōu)收斂速度。采 用局部線性擬合的方法對非參數(shù)單方程模型進(jìn)行估 計(jì), 已 經(jīng) 被 認(rèn) 為 是 研 究 非 參 數(shù) 模 型 的 有 效 方 法[ 2, 5, 10～ 12 ]。 但是, 在單方程模型中是一致估計(jì)的方
-

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A

L oca l l inear est i a t ion w ith in strum en ta l m var iables for non - param etr ic s i ultaneous equa t ion s m econom etr ic m odel
(School of Econom ics & M anagem en t, Tsinghua Un iversity, Be ij ing 100084, Ch ina) p resen t s an

法在聯(lián)立方程模型中不再是一致估計(jì)的方法[ 6 ]。 本文將非參數(shù)單方程模型的局部線性估計(jì)方 法[ 5 ] 與傳統(tǒng)聯(lián)立方程模型估計(jì)方法相結(jié)合, 在隨機(jī) 設(shè)計(jì)下, 首次提出了非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的局 部線性工具變量估計(jì)方法, 并在內(nèi)點(diǎn)處研究了它的 大樣本性質(zhì)和收斂速度。

pap er

estim ation

m ethod

fo r

1　非參數(shù)聯(lián)立模型局部線性工具變量估計(jì)

　　將非參數(shù)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中的某結(jié)構(gòu)式 方程表示為 ( 1) Y i = m (X i ) + u i , 其中: (X 1 , Y 1 ) , …, (X n , Y n ) 是在 R d + 1 上取值的獨(dú)立

2 38 7142717

非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的研究是當(dāng)前計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 研究中的一個(gè)重要方向[ 1, 2 ] , 其中非參數(shù)單方程計(jì)量

收稿日期: 2001210229

基金項(xiàng)目: 教育部人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目
(01JA ZJD 790004)

作者簡介: 葉阿忠 (19632) , 男 ( 漢) , 福建, 副教授。
. . E 2 ail: yaz@p ub3. fz fj cn m

通訊聯(lián)系人: 李子奈, 教授。E 2 ail: lizinai@ tsinghua. edu. cn m

葉阿忠, 等: 　非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的局部線性工具變量估計(jì)

715

同分布的隨機(jī)變量向量序列, u i 是均值為零且相互 獨(dú)立的隨機(jī)變量。 假定解釋變量向量 X i = [ X 1 i , …,
X
di

] T 中 某 些 變 量 與 隨 機(jī) 誤 差 項(xiàng) u i 相 關(guān), 即

E (X iu i ) ≠O 或 E ( u i X i ) ≠0。非參數(shù)函數(shù) m 及其一

　　條件 2: ( Z W xX x )
T T

階、 二階導(dǎo)數(shù)有界連續(xù), 其估計(jì)的最優(yōu)收斂速度為
n
- 2 ( d + 4) [ 12, 13 ]

存在, 其中 T Z = [ Z 1 , …, Z n ] , 　X x = (X x , 1 , …, X x , n ) ,
- 1

　

。

設(shè) Z 1 , …, Z n 是 R d + 1 維獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 向量, Z i = [ Z 0 i , Z 1 i , …, Z d i ] T 與 X i 相關(guān), 但與 u i 不 相關(guān), 即有 E ( Z iu i ) = O , E ( Z iu i X i ) = O。 稱 Z i 為 X i 的工具變量向量。 設(shè) f ( ) 是 X i 的密度函數(shù), f ( x ) > 0, 有凸支撐 d supp ( f ) < R , f 是有界連續(xù)函數(shù), 其一階導(dǎo)數(shù)連
2

W x = d iag [ K h n (X 1 -

續(xù); g i ( x ) = E ( Z i1 X 1 = x ) 和 p i ( x ) = E ( ( Z i1 ) X 1 = 2 x ) 有界連續(xù); F ij ( x ) = E [ Z i1 Z j 1 ( u 1 ) X 1 = x ] 有界 連續(xù)。
hn
- d

設(shè) K ( ) 是 d 維 密 度 函 數(shù), 令 K hn ( u ) = - 1 K ( h n u ) , 稱 K 為核函數(shù), h n 為窗寬, K h n ( ) 為
d

核權(quán)函數(shù)。K 有緊支撐
supp ( K ) <

∏[ i= 1

且

K ( u ) ≥ 0, 　 K ( u ) d u = 1, 　 K ( u ) u d u = O ,
T 2

δ 　　定義 2: A 的局部線性工具變量估計(jì) A IV ( h n , K ) 滿足下式:

其中: Λ2 (K ) ≠0, I 為單位陣。
( b ) h n →0, nh d + 2 →+ ∞; n ( c) h n = cn 1 ( d + 4)

d 條件 1: ( a ) h n →0, nh n →+ ∞;

若存在 h 0 > 0, 使得當(dāng) h ≤h 0 時(shí), ( x , h = supp ( K ) , 則稱 x 為內(nèi)點(diǎn)。 否則稱之為邊界點(diǎn)。 其中:
m (X i ) ≈ Α+ (X i D m (x ) =
T x ) B = [ 1, (X i -

約定: i 為元素全為 1 的矩陣或列向量或行 向量。 m (X i ) 在局部 x 處有線性近似:
x ) ]A ,
T

定義 1: 給定 x ∈ supp ( f ) < R d 和窗寬 h , 記 ( x , h = {z: ( x + hz ) ∈ supp ( f ) } ∩ supp ( K ). Α= m ( x ) , 　B = D m ( x ) , 　A = [ Α B T ] T , , 9m ( x ) 9m ( x ) … 9x 1 9x d
T

∫ ∫ K ∫(u ) uu du = Λ (K ) I ,

, c> 0 為常數(shù)。

1, 1 ] < R d , .

( 2)

　　設(shè) x ∈ supp ( f ) < R d 為內(nèi)點(diǎn), 則不妨設(shè)對任意 的 n , 都有 ( x , hn = supp ( K ) 。 可將模型 ( 1) 寫成矩陣形式: Y= M + U , 其中: T T M = [m (X 1 ) , …, m (X n ) ] , U = [ u 1 , …, u n ] 。由 m (x ) 1 + Q m ( x ) , 其中: T aylo r 展開, M = X x 2 (x ) Dm T Q m ( x ) = [ (X 1 - x ) H m ( z 1 ( x , X 1 ) ) (X 1 - x ) , …, (X n - x ) T H m ( z n ( x , X n ) ) (X n - x ) ] T ,
H m (x ) =

　　在條件 2 下, 由式 ( 3) 解出: δ T - 1 T A IV ( h n , K ) = ( Z W xX x ) Z W x Y,
T

其中 Y= [ Y 1 , …, Y n ] 。 于是, m ( x ) 的局部線性工具變量估計(jì)為: T T - 1 T δ m IV ( x ; h n , K ) = e1 ( Z W xX x ) Z W x Y, 其中, e 1 = ( 1, 0, …, 0) 。
T

2　局部線性工具變量估計(jì)在內(nèi)點(diǎn)處的性質(zhì)

‖z i ( x , X i ) - x ‖ ≤ ‖X i - x ‖ . 　　由 X i 相互獨(dú)立, 可知 z i ( x , X i ) 相互獨(dú)立。 容易 得到 δ m IV ( x ; h n , K ) - m ( x ) =
n
- 1
n

　　由條件 2, 明顯有
n
- 1

　　引理 1: ( a ) 在條件 1 ( a ) 下,
n
- 1

其中 g (x ) = E ( Z 1 X 1 = x ) 。 ( b ) 在條件 1 ( b ) 下,
n
- 1

2 T T 2 Λ2 ( K ) h n [ g ( x ) D f ( x ) + f ( x ) D g ( x ) ] + op ( h n i).

6

n

Z i (Y i -

T

i= 1

K h n (X i -

X x , i = ( 1, (X i -

T - 1 T e 1 ( Z W xX x ) Z W x

T

Z W xX x =

T

n

- 1

6

n

K h n (X i -

i= 1

6

6

K h n (X i -

i= 1

n

K h n (X i -

i= 1

δ [ 1, (X i - x ) T ]A IV ( h n , K ) )
x ) = O.
T T x) ) ,

( 3)

x ) , …, K h n (X n -

x ) ].

( 4)

( 5)

x ) Z i = f ( x ) g ( x ) + op ( i) ,

9 2m ( x ) 9 x i 9x j

d ×d

,

1 Q m (x ) + U . 2

( 6)

x ) Z i (X i -

x ) Z i (X i -

6

n

K h n (X i -

x ) Z i,

i= 1

x)

T

.

( 7)

x) =

T

716

清 華 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) ( 自 然 科 學(xué) 版)

2002, 42 ( 6)

　　 ( c) 在條件 1 (b ) 下,
n A 11 ( x ) + op ( 1) A 21 ( x ) + op ( 1)
- 1

Z W xX x =
2 2 2 2

T

n

- 1

其中:

A 11 ( x ) = f ( x ) g 0 ( x ) ,
T

A 12 ( x ) = g 0 ( x ) D f ( x ) + f ( x ) D g 0 ( x ) , A 21 ( x ) = f ( x ) g 1 ( x ) ,
T T

A 22 ( x ) = g 1 ( x ) D f ( x ) + f ( x ) D g 1 ( x ) ,

[ g 0 ( x ) , ( g 1 ( x ) ) T ] T = g ( x ).

　　 ( d ) 在條件 1 ( a ) 下,
n
- 1 2 T

Z W xQ m ( x ) =

　　 ( e ) E [ n - 1 Z TW xU ] = 0 和 va r [ n - 1 Z TW xU ] = - 1 - d - 1 - d n h n R ( K ) F ( x ) f ( x ) + o ( n h n i) , 其中:
F ( x ) = E ( u i Z i Z i X i = x ).
2 T

　　為證明引理 1, 需要如下引理 2。 引理 2: 設(shè) R d 中函數(shù) v ( x ) 及其導(dǎo)數(shù) D v ( x ) 在 x 處連續(xù), 則在條件 1 (a ) 下,

∫ ∫ (K (Q ) ) v (x ) dQ + o (1) , l= 1, 2. (b ) ∫ (K (Q ) ) v (x + h Q )Q dQ = h ∫ K (Q )QQ D (x ) dQ + o (h i) =
(a )
supp ( K )

( c)

(d )

這里省略引理 2 的證明。 對于引理 1, 只證明 ( b ) , 其它類似可證。而對于 引理 1 ( b ) , 只需證明
n
- 1

注意到

2 2 Λ2 ( K ) h n [ g j ( x ) D f ( x ) + f ( x ) D g j ( x ) ] + op ( h n i).

f ( x ) Λ2 ( K ) h n t r{H m ( x ) }g ( x ) + op ( h n i).
2

( K (Q ) ) l v ( x + h nQ ) dQ =
l

supp ( K )

supp ( K )

n

supp ( K )

∫ ∫

supp ( K )

supp ( K )

∫ ∫

supp ( K

v ( x + h nQ ) dQ =
supp ( K

6

n

i= 1

h n Λ2 ( K ) D v ( x ) + o ( h n i). l = 1, 2. l = 1, 2.

( K (Q ) ) l v (x + h nQ ) QQ T dQ = ( K (Q ) ) l v (x ) QQ T dQ + o ( i) ,

[ K (Q ) Q TH m ( z i (x , x + h nQ ) ) Q ] l ? ) [ K (Q ) Q TH m ( x ) Q ] l v ( x ) dQ + o ( 1) , )

K h n (X i - x ) Z j i (X i - x ) =

Λ2 ( K ) h nA 12 ( x ) + op ( h n i) Λ2 ( K ) h nA 22 ( x ) + op ( h n i)
T
n

E K h n (X 1 -

,

T

v

n

其中, 7 是 va r ( K hn (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ) 的對角元 素組成的列向量。 由 g j 和 f 的連續(xù)性和引理 2 (b ) , 可得到 E K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) =
E {E [ K h n (X 1 E [ K h n (X 1 x ) Z j 1 (X 1 x ) X 1 ]} = x) ] = x ) g j (X 1 ) (X 1 -

∫

g j (X 1 ) (X 1 -

∫
2

supp ( K )

K (Q ) g j ( x + h nQ ) f ( x + h nQ ) h nQ dQ =
2

　　因?yàn)?br />
由 p j 和 f 的連續(xù)性和有界性及引理 2 (c) , 可得到 E { [ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ]
[ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ] T } =
2 x ) ) p j (X 1 ) (X 1 -

E [ ( K h n (X 1 -

所以

于是, 在條件 1 ( b ) 下,

h n Λ2 ( K ) [ f ( x ) D g j ( x ) + g j ( x ) D f ( x ) ] + o ( h n i).

va r ( K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ) =
E {K h n (X 1 x ) Z j 1 (X 1 x) -

E [ K h n (X 1 -

{K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) x ) Z j 1 (X 1 -

E [ K h n (X 1 -

E { [ K h n (X 1 -

[ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ] T } -

{E [ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ]}

{E [ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ]}T ,

∫
- d+ 2

supp ( f )

p j (X 1 ) f (X 1 ) (X 1 hn

hn

- d+ 2

∫

supp ( K )

va r ( K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ) =
- d+ 2

O (h n

6

n

K h n (X i -

x ) Z j i (X i -

x) =
- 1

i= 1

x ) Z j 1 (X 1 -

x ) + O p (】 n

supp ( f )

- 1 h n K ( h n (X 1 -

- d

x) )

x ) f (X 1 ) dX 1 =

x ) Z j 1 (X 1 -

x ) ]} ×

x ) ]} = x) ]

T

x ) Z j 1 (X 1 -

x ) (X 1 -

- d - 1 [ h n K ( h n (X 1 - x ) ) ] 2

x ) (X 1 -

x ) dX 1 =

T

∫

supp ( K )

[ K (Q ) ] 2 p j ( x + h nQ )

T f ( x + h nQ ) QQ dQ =

[ K (Q ) ] 2 p j ( x ) f ( x ) QQ T dQ +
I ) = O (h n
- d+ 2

o (h n

- d+ 2

i) ,

i) - O ( h n i) = O ( h n

4

- d+ 2

i).

7〈) ,
T

x) ] =

葉阿忠, 等: 　非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的局部線性工具變量估計(jì)

717

O p (】 n

- 1

O p (】 h n n
- 1

　　由引理 1 和文 [ 13 ] 第 . 3 節(jié)中命題2. 26、 練習(xí) 2. 35 和推論 2. 36, 容易推得如下引理。 引理 3: 在條件 1 ( b ) 下, T - 1 T - 1 ( 8) e 1 ( n Z W xX x ) = B ( x ) + op ( i) , 其中:
b 1 ( x ) = [A B ( x ) = ( b1 ( x ) , b 2 ( x ) ) ,

( x ) - A 12 ( x ) (A 22 ( x ) ) - 1A 21 ( x ) ] - 1 , b 2 ( x ) = - (A 11 ( x ) ) A 12 ( x )
11 11

[A 22 ( x ) ) - A 21 ( x ) (A

至此, 可以得到下述定理與推論。 定理 1: 在條件 1 ( c) 下,
n
2 ( d + 4) 2

N

c

2

其中:

a ( x ) = f ( x ) t r{H m ( x ) }B ( x ) g ( x ) ,
T b (x ) = f (x )B (x ) F (x )B (x ) ) .

　　證明: 由中心極限定理容易推得
n
2 ( d + 4)

- d N [O , c R ( K ) F ( x ) f ( x ) ],

由引理 1 (d ) ,
n

2 ( d + 4)

c

2

2

所以,
n

2 ( d + 4)

N

c

2

　 　 再應(yīng)用引理 3, 不難推出本定理成立。 推論 1: 在定理 1 的條件下, δ ( a ) E {m IV ( x; h n , K ) - m ( x ) } 2 →0,
- d c R (K ) F (x ) f (x ) .

(b )

∫
a

其中

δ m IV ( x ; h n , K )
4
a=

2 δ E {m IV ( x ; h n , K ) - m ( x ) } w ( x ) d x =

4 4 ( Λ2 ( K ) ) 2 h n + n - 1 h n d R ( K ) b+ o ( h n ) ,

Λ2 ( K ) f ( x ) t r{H m ( x ) }g ( x ) ,
n
- 1

2

7〈) = O p ( 】- 1O ( h n n - d+ 2

d+ 2

)〈) = i

b=

2 〈) = op ( h n i). i

b( ∫x )w (x ) dx ,

w ( x ) ≥0 為某權(quán)數(shù)。

3　結(jié)　論
定理 1 說明, 局部線性工具變量估計(jì)的漸近分 布為正態(tài)分布。 該定理的條件允許模型的隨機(jī)誤差 項(xiàng)存在異方差現(xiàn)象, 所以當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)異方差時(shí), 該 結(jié)論仍成立。 推論 1 (a ) 說明, 局部線性工具變量估計(jì)依 2 階 矩收斂或均方誤差收斂, 于是也是依概率收斂, 即局 部線性工具變量估計(jì)是一致估計(jì)。 由推論 1 (b) 知, 本模型的局部線性工具變量估 (d+ 計(jì)的收斂速度為 n - 2 4) , 于是該收斂速度達(dá)到通 常解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的非參數(shù)模型估計(jì) 的最優(yōu)收斂速度[ 8, 9 ]。

( x ) ) - 1A 12 ( x ) ] - 1.

Λ2 ( K ) a ( x ) , c- d R ( K ) b ( x ) ,
n
- 1

Λ2 ( K ) f ( x ) t r{H m ( x ) }g ( x ) ,
p

δ [m IV ( x ; h n , K ) - m ( x ) ]
n
- 1

L

( 9)

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T

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  本文關(guān)鍵詞：非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的局部線性工具變量估計(jì)，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。