【摘要】：由Pardoux和Peng[61]建立的非線性倒向隨機微分方程理論(BSDE)有很多實際和理論應(yīng)用,包括經(jīng)濟(jì)(見El Karoui,Peng和Quenez[22]),偏微分方程(見Pardoux和 Peng[62],Peng[66])和隨機控制(見Peng[66,67])等等.BSDE 的解是一對過程(y.Z)滿足:Yt =ζ +∫tT f(s,Ys,Zs)ds-∫tT ZsdBs,0≤tT.根據(jù)著名的Feymann-Kac公式,在Markov情形下,BSDE的解可以給一大類半線性偏微分方程提供概率表示(參見Peng[66],Pardoux和Peng[63],Fulhrman和Tessitore[28]和Crisan和Delarue[15]).作為線性期望的一個非平凡推廣,基于BSDE理論,Peng[68]引入了非線性g-期望理論.實際上,g-期望是由一族等價概率測度描述的.利用此概念,Chen和Epstein[11]研究了帶有漂移項不確定性的隨機微分遞歸效用理論.然而,很多經(jīng)濟(jì)和金融問題包含更復(fù)雜的由一族相互奇異概率測度描述的波動率不確定性,由此啟發(fā),通過隨機控制和偏微分方程方法,Peng[71,72,73]系統(tǒng)建立了一個稱為G-期望的時間相容次線性期望框架(也可參見Peng[69,70]).在G-期望框架下,Peng構(gòu)造了一個稱為G-布朗運動的新型布朗運動,也建立了相應(yīng)的Ito型隨機積分.另外,通過壓縮映射方法,Peng[71]和Gao[29]得到了下述G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程(G-SDEs)的存在唯一性:dXtx= b(t,Xtx)dt+∑ hij=1(t,Xtx)dBi,Bj)t+∑jd=1σj(t,Xtx)dBtj,t ∈[0,T],X0x=x,(0.0.1)其中B =(B1,...Bd)是G-布朗運動,Bi,Bj是交叉變差過程.不同于經(jīng)典情形,交叉變差并不是確定過程.更進(jìn)一步,Hu,Ji,Peng和Song[36]得到了下述一維(即Y是一維)G-布朗運動驅(qū)動的倒向隨機微分方程(G-BSDEs)的存在唯一性定理:Yt=ξ +∫tT f(s,Ys,Zs)ds +∫tT gij(s,Ys,Zs)dBi,Bjs-∫tT ZsdBs-(KT-Kt).(0.0.2)這個方程的解是過程三元組(Y,Z,K).與經(jīng)典情形相比,G-BSDE有一個額外的非增G-鞅項K.這些作者在另一篇文章[37]中得到了 G-BSDE相應(yīng)的比較定理,Feymann-Kac公式等.對于在G-SDE和G-BSDE理論上的其他發(fā)展,感興趣的讀者可以參考 Hu,Li,Wang和 Zheng[38],Hu,Lin和 Hima[43],Li,Peng和 Hima[50],Lin[53],Peng和Song[75].對于在次線性期望和G-期望理論上的更進(jìn)一步研究,可參閱 Chen,Wu 和 Li[12].Dolinsky,Nutz 和 Soner[19],Epstein和 Ji[25].Neufeld和 Nutz[58],Soner,TTouzi和 Zhang[83],Xu和 Zhang[91]和 Zhang[93].本文系統(tǒng)地研究了 G-布朗運動驅(qū)動的(正向和倒向)隨機微分方程中的一些基本問題.其中包括:G-布朗運動驅(qū)動的多維倒向隨機微分方程,G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程的強馬氏性,包含G-SDE作為一個特殊情形的非線性半鞅首出時的擬連續(xù)性,以及G-布朗運動驅(qū)動的均值反射倒向隨機微分方程等.我們現(xiàn)在介紹一下本文的主要組織結(jié)構(gòu).在第一章,我們回顧了 G-期望,G-布朗運動,G-隨機微分方程和G-倒向隨機微分方程的主要概念和性質(zhì).在第二章,我們考慮了一類多維G-倒向隨機微分方程的適定性.多維G-BSDE指的是解中Y是多維的情形.由于G-期望是一個非線性期望,G-鞅的線性組合不再是G-鞅.這導(dǎo)致了[36]中一維G-BSDE的方法并不能應(yīng)用于解決多維G-BSDE的困難.我們通過對Y做壓縮論證和倒向迭代局部解的方法得到了多維G-BSDE解的存在唯一性.更進(jìn)一步,我們說明,在Markov框架下,多維G-BSDE可以給完全非線性拋物方程組提供了一個概率解釋.在第三章,我們研究了 G-隨機微分方程的強馬氏性質(zhì).通過先驗估計方法和證明一種新的相容性性質(zhì),我們將確定時刻條件G-期望延拓到可選時時刻.然后,我們用離散化方法得到了G-SDE的強馬氏性.由于一般情況下控制收斂定理并不成立,我們利用了 Kolmogorov弱緊性準(zhǔn)則和所構(gòu)造條件G-期望的性質(zhì).特別地,對給定可選時τ和G-布朗運動B.我們證明了 B的反射原理,并說明(Bτ+t-Bτ),t≥0仍然是一個G-布朗運動.在第四章,我們系統(tǒng)研究了非線性半鞅首出時的擬連續(xù)性質(zhì).而G-SDE是一個特例,也是對考慮一般半鞅情形的主要啟發(fā)之一.在加上某些額外的增長性條件和正規(guī)性假設(shè)后,我們證明,如果所考慮開集合滿足外球條件,則相應(yīng)的首出時是擬連續(xù)的.在證明中,我們應(yīng)用了一種輔助函數(shù)方法和正則條件概率的概念.我們也給出了擬連續(xù)過程的刻畫定理和停時過程的正規(guī)性質(zhì).特別地,我們得到多維G-鞅首出時的擬連續(xù)性,這非平凡地推廣了 Song[86]中的一維結(jié)果.在第五章,我們主要研究了均值反射G-倒向隨機微分方程.由于G-期望是一族奇異測度的上期望,因此嚴(yán)格比較定理并不顯然,控制收斂定理也不一定成立.但這兩個性質(zhì)對我們在方程中構(gòu)建向上的推力很重要.為了克服這些困難,我們利用了概率族的弱緊性,并通過容度理論證明了 G-鞅的一致可積性.有了這些準(zhǔn)備之后,我們通過一個鞅表示論證方法和不動點原理得到了均值反射G-BSDE解的存在唯一性.更進(jìn)一步.我們考慮了更一般的非線性期望反射情形.下面我們給出本論文的主要結(jié)果.1.G 布朗運動驅(qū)動的多維倒向隨機微分方程在本章,我們考慮如下類型的n-維G-倒向隨機微分方程:Ytl=ξl+∫tTfl(s,Ys,Zsl)ds+∫tT gijl(s,Ys,Zsl)dBi,Bjs-∮tT ZsldBs-(KTl-Ktl),1≤l≤n,(0.0.3)其中fl(t,ω,y,zl),glij(t,ω,y,zl):[0,T]× ΩT × Rn × Rd→R,(?)1≤ l ≤n滿足:(H1)存在一個常數(shù) β1 使得對每個y,z,fl(·,·,zl)∈ MGβ(0,T),(H2)存在常數(shù)L0使得,對每個y1,y2 ∈Rn,z11,z21 ∈Rd,|fl(t,y1,z11)-fl(t,y2,z21)|+(?)|gijl(t,y1,z11)-gijl(t,y2,z2l)|≤L(y1-y2|+|z1l-z2l|).我們首先研究G-倒向隨機微分方程(0.0.3)的局部解.實際上,我們有定理0.1.假設(shè)對某個β1,(H1)-(H2)成立.則存在一個僅依賴于T,G,n,β和L的常數(shù)0δ ≤ T使得對任意h ∈(0,δ,∈[0,T-h和給定ζ ∈LGβ(Ωt+h;Rn),對任意1αβ區(qū)間[t,t+h]上的G-倒向隨機微分方程Ysl=(ζl+∫st+hfl(r,Yr,Zrl)dr+∫st=hgijl(r,Yr,Zrl)dBi,Bjr-∫st+hZrldBr-(Kt+h-l-Ksl),1 ≤ l ≤ n,(0.0.4)有唯一解(Y,Z,K)∈ SGα(t,t+h;Rn)×HGα(t,t+h;Rn×d)× +h;Rn).另外,Y ∈MGβ(t,t + h;Rn).為了證明定理0.1,我們考慮下面區(qū)間[t,t+h]上的G-倒向隨機微分方程:YsU,l=ζl+∫st+hfl,U(r,YrU,lJ,ZrU,l)dr+ ∫st+hgijl,U(r,YU,l,ZrU,l)dBi,Bjr-∫st+hZrU,ldBr-(Kt+hU,l-KsU,l),1≤l≤n.其中U∈MGβ（t,t+h;Rn),ζ∈LGβ(Ωt+h;Rn),h ∈[0,T-t],ψl,U;(t,yl,zl)=ψl(t,Ut1,…,Utl-1,yl,Utl+1,…,Utn,zl):[0，T]× ΩT ×R×Rd→R,對ψ =f,gij.對X=Y,Z,K我們記XU=(XU,1,…,XU,n).則引理0.2.假定(H1)-(H2)對某個β1成立.則對任意1αβ，G-倒向隨機微分方程(0.0.5)有唯一的SGα(t,t+h;Rn)×HGα(t+t+h;Rn×d)×AGα(t,t+h;Rn)-解(YU,Zu,KU).另外,YU∈MGβ(t,t + h;Rn).跟據(jù)引理0.2,我們可以定義從MGβ(t,t+h;Rn)到MGβ(t,t+h;Rn)的解映射Γ:U→Γ(U):Γ(U):=YU,(?)U ∈ MGβ(t,t+h;Rn).過說明在h充分小時,解映射r是一個壓縮映射,我們可由Piccrd迭代方法得到局部解的存在唯一性定理(引理002).之后通過一個倒向迭代,我們得到了G-倒向隨機微分方程(0.0.3)在整個區(qū)間[0,T]上的適定性.定理0.3.假設(shè)(H1)-(H2)對某個β1成立.則對任意1αβ,G-倒向隨機微分方程(0.03)有唯一解(Y,Z,K)∈SGα(0,T;Rn)×HGα∈(0,T;Rn×d)×AGα(0,T;Rn).另外,Y∈MGβ(0,T;Rn).我們也有多維G-倒向隨機微分方程(0.0.3)的比較定理.在區(qū)間[0,T]上,考慮下面兩個G-倒向隨機微分方程:Ytl =ξl+ ∫tT fl(s,Ys,Zsl)ds + ∫tTgijl(s,Ys,Zls)dBi,Bjs-∫tTZsldBs-(KTl-Ktl),1≤l≤n,Ytl=ξl+∫tTfl(s,Ys,Zsl)ds+∫tTgij(s,Ys,Zsl)dBi,Bjs-∫tTZaldBs-(KTl-Ktl),1≤l≤n.我們有下述比較定理.定理 0.4.對某個β1,假設(shè)ft(t,y,zl),f(t,y,zl),gijl(t,y,zl),gijl(t,y,zl)滿足(H1)-(H2)且ξ,ξ∈LGβ(ΩT).如果下面的條件成立:(i)對任意1 ≤ l≤n,t∈[0,T],zl∈ 和 y,y∈ Rn 使得 yj≥yj,對j≠l,且yl=yl,有fl(t,y,zl)≥fl(t,y,zl).[gijl((t,y,zl]i,j=1d ≥[gijl(t,y,zl)]i,jd=1,(ⅱ)ξ≥ξ.則對任意 t ∈[0,T],≥ Yt.最后我們研究多維G-倒向隨機微分方程和完全非線性偏微分方程的聯(lián)系.首先,對任意給定t ∈[0,T]和η∈ LGp(Ωt;Rk),其中p≥ 2,我們引入如下的G-隨機微分方程:(0.0.6)其中確定連續(xù)函數(shù)b(s,x),hij(s,x):[0,T]× Rkk →和σ(s,x):[0,T]× Rk → Rk×d滿足:(H3)hij=hji,對1≤i,j ≤d,式且存在正常數(shù)L使得下面我們考慮如下區(qū)間[t,T]上的n-維G-倒向隨機微分方程:Yst,η;l=φl(XTt,η)+∫sTfl(r,Xrt,η,Zrt.η;l)dr+∫sT gijl(r,Xrt,η,Zrt,η;l)dBi,Bjr-∫sTZrt,η;ldBr-(KTt,η;l-Kst,k,η;l),1≤l≤n,(0.0.7).其中確連續(xù)函=φl:Rk→R,fl.fijl+gjil:[0,T]× Rk×Rn×Rd → R,1 ≤l ≤ n.滿足下面的假設(shè):(H4)存在常數(shù)L ≥ 0使得|φl(x1)-φl(x2)| + |fl(t,x1,y1,z1l)-f(t,x2.y2,z2l)|+(?)|gijl(t,x1,y1,z1l)-gijl(t,x2，y2,z2l)|≤ L(|x1-x2|+ |y1-y2|+ |z1l-z21|).對每個(t，x)∈[0,，T]×R× 我們定義確定性函數(shù)u(t,x):=Ytt,x,對任意(t,x)[,,T ×.((0.0.8)則有定理0.5.u為下面拋物方程組的粘性解：(?)tul(t,x)+ Fl(Dx2ul,Dxul,u,x,t)=0,(t,x)(0,T)× Rk,(0.0.9)ul(T,x)= φl(x),x∈Rk;1≤ l ≤n,中Fl(A,p,r,x,t,):=G(σT(t,,)Aσ(t,x)+2[p,hij(t,x)]ij=1d+2[gijl(t,x,r,σT(t,x)p)]i=1d)+b(t,x),p+fl((t,x,r,σT(t,x)p),對（A，p,r,x,t)∈S(k)× Rk ×Rn × Rk ×[0,T].2.G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程的強馬氏性在本章,我們研究G-布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程的強馬氏性質(zhì)質(zhì)首先,對給定可選時τ,我們構(gòu)造了關(guān)于于Fτ+的條件G-期望Eττ并研究其性質(zhì).給定一個映射τ:Ω→[0,∞).稱τ為一個停時,如果對每個t ≥ 0,{τ≤t}∈Ft.稱τ為一個可選時,如果對每個t ≥ 0,{τt}∈Ft.對每個可選時τ,我們定義σ-域Fτ+:={A ∈F:A∩{τt}∈ Ft,(?)t≥0}={A ∈ F:A∩{τ≤t}∈ Ft+,(?)t≥0},其中 Ft+=∩stFs.令τ是一個可選時.對每個p ≥ 1,我們定義LG0,p.τ+(Ω)={X=(?)ξiAi:n ∈ N {Ai}in=1 是Ω 的一個Fτ+-劃分,ξi∈LGp(Ω)，i=1,…,n}.記LGpτ+(Ω)為LG0,p,τ+(Ω)在范數(shù)‖·‖p下的完備化.我們定義了條件G-期望Eτ+:LG1,τ+(Ω)→LG1,τ+(Ω)∩ L0(Fτ+).并有命題 0.6.條件期望 Eτ+:LG1,τ+(Ω)→ LG1,τ+(Ω)∩ L0(Fτ+)滿足:對X,Y ∈LG1,τ+(Ω),(ⅰ)Eτ+[X]≤ Eτ+[Y],對X≤Y;(ⅱ)Eτ+X+Y]≤Eτ+[Y+Eτ+[Y];(ⅲ)E[Eτ+[X]]=E[X].我們也給出了LG1,τ+(Ω)上條件期望的更進(jìn)一步性質(zhì)命題0.7.條件期望Eτ:LG1,τ+(Ω)→ LG1,τ+(Ω)∩ L0(Fτ+)滿足下面的性質(zhì):(ⅰ)如果Xi∈ LG1,τ+(Ω),i=1,…,n {Ai}i=1n 是Ω 的一個Fτ+-劃分,則Eτ+[(?)XiIAi]=(?)Eτ+[Xi]IAi;(ⅱ)如果τ和σ是兩個可選時,X ∈ LG1,τ+(Ω),則ET+[X]I{τ≤σ}=E(τ^σ)+[XI{τ≤σ];(ⅲ)如果X ∈LG1.τ+(Ω),則 E(τ^T)+[XI{τ≤T}]→ Eτ+[X]在L1 下成立,當(dāng) T → ∞時:(ⅳ)如果(τn}n=1,∞,τ是可選時且滿足τn → τ 一致成立,當(dāng)n → ∞時,且X∈LG1,τ0+(Ω),其中τ0:=τ ^n(^n=1∞=1τn),則Eτn+[X]→ Eτ+[X]在L1范數(shù)下成立,當(dāng)n→∞時;特別地,如果τn↓τ一致成立,當(dāng)n↓∞時,且X ∈ +(Ω),則Eτn+[X]→Eτ+[X]在]L1下成立,當(dāng)n → ∞時.命題0.8.條件期望Eτ+滿足：(ⅰ)如果X ∈ LG1,τ+(Ω)，η,Y∈LG1,τ+(Ω)∩L0(Fτ+),其中η是有界的,則 Eτ+[ηX+Y]=η+Eτ+[X]+η-Eτ+[-X]+Y;(ⅱ)如果η ∈ LG1,τ+(Ω);Rd)∩ L0(Fτ+;Rd),X ∈ LG1,τ+(Ω;Rn),φ ∈ 則Eτ+[φ(η,X)]=Eτ+[φ(p,X)]p=η·作為應(yīng)用,我們給出如下的G-布朗運動的反射原理.定理0.9.令τ為可選時.則Bt:=2Bt^τ—Bt=Bt^τ—(Bt-Bτ)I{tτ},t≥0,仍是一個G-布朗運動.基于所構(gòu)造的條件期望E+概念,我們得到G-隨機微分方程的強馬氏性如下.定理 0.10.令(Xtx)t≥0為G-隨機微分方程的解.τ為一可選時.則對任意φ ∈Cb.Lip(Rm×n)和0≤t1≤…≤tm=T'∞,我們有Eτ+[φ(Xτ+t1x,…,Xτ+tmx)]=E[φ(Xt1y,…Xtmy)]y=Xτx.(0.0.10)在上述定理中取n= x=0,6=hij=0,σ:=(σ1,…,σd=Id×d,我們可以立刻得到下面的G-布朗運動的強馬氏性,其說明從一個可選時重新開始的G-布朗運動仍是一個G-布朗運動.推論0.11.對每個φ∈ 0≤t1 ≤…≤tm+∞,m ∈N,有Eτ+[φ(Bτ+t1-Bτ,…,Bτ+tm-Bτ)]=E[φ(Bτ+t1-Bτ,…,Bτ+tm-Bτ)]=E[φ(Bt1,…,Btm)].最后我們給出一個應(yīng)用..令(Bt)t≥0為一個一維G-布朗運動且滿足σ2=—E[-B12]0(非退化性).給定常數(shù)a ∈ E,對每個ω∈Ω 定義水平集Lω(a):={t0:Bt(ω)=a}.(0.0.11)利用G-布朗運動的強馬氏性,我們可以得到下述定理.定理0.12.對q.s.ω ∈ Ω水平集Lω(a)在[0,∞)上沒有孤立點.3.非線性期望下半鞅的首出時問題我們將研究在一個一般的非線性期望框架下非線性半鞅首出時的擬連續(xù)性問題.對ω ∈Ω和,t≥0,令Bt(ω):=ωt為典則過程,Ft:=σ{Bs:s≤t 為的自然域流.我們記F:=(Ft)t≥0.令P為(Ω B(Ω))上的一族概率測度.設(shè)L(Ω):={X ∈ B(Ω):對每個P ∈ EP[X]存在}.我們定義相應(yīng)的上期望為E[X]:= sup EP[X]，對 X ∈L(Ω).(0.0.12)P∈P對這個P,我們定義相應(yīng)的上容度為c(A):= sup P(A),A ∈B(Ω).p∈P定義 0.13.一個F-適應(yīng)過程Y=(Yt)t≥0稱為P-鞅(P-上鞅,P-下鞅,P-半鞅)如果它在每個P ∈ P下是鞅(上鞅,下鞅,半鞅).給定一個弱緊概率族P,令Y為d-維連續(xù)P-半鞅.假設(shè)在每個P∈P下,我們有分解Yt=MtP+AtP.其中MtP是一個d-維連續(xù)局部鞅,AtP是一個d-維有限差過程.我們也記YP=MP為下的二次變差過程.每個集合D I(?)Rd,我們定義Y從D首出時為τD(ω):inf{t ≥ 0:Yt(ω))Dc,對ω∈Ω.定義0.14.一個開集合O稱為在x ∈(?)O足外球條件,如果存在中心為z半徑為r為的開球U(z,r)使得U(z,r)Oc且x∈(?)U(z,r).開集O稱為滿足外球條件如果果在每個邊界點x ∈(?)O滿足外球條件.給定Q為Rd中的一個開集.我們記Ωω={ω'∈Ω:ωt'=ωt在[0,τQ(ω)上],對ω∈Ω.(0.0.13)在本節(jié),我們將主要處理在邊界處滿足一種局部增長條件的半鞅Y.(H)對每個P∈個P,存在一個P-個零集N使得,如果ω ∈Nc滿足τ Q(ω)∞,則存在某個停時σω和常數(shù)λω,εω0使得(ⅰ)σω(ω')0,對所有ω'∈Nc ∩Ωω;(ⅱ)對ω' ∈Nc∩ Ωω,在區(qū)間[0,σω(ω')^(τQ(ω')-τQ(ω'))]上,成立dMPτQ(ω)+t(ω')≥λωtr[dMPτQ(ω)+t(ω')]Id× d,tr[d(MPτQ(ω)+t(ω')]≥εω|dAPτQ(ω)+t,和tr[dMPτQ(ω)+t(ω')]0.這里三個量σω,λω和εω可以依賴于P,ω但是假設(shè)對所有ω' ∈ Nc∩Ωω是一致的.下面的定理建立了非線性半鞅首出時的擬連續(xù)性.定理0.15.令開集Q滿足外球條件.假設(shè)Y為擬連續(xù)的且滿足局部增長條件(H).則對任意δ0,存在開集O(?)Ω使得c(O)≤ δ且在Oc上,我們有:(ⅰ)τQ為下半連續(xù),τQ為上半連續(xù);(ⅱ)τQ=τQ.一般來說,我們可以用下面的截斷操作來得到擬連續(xù)性.推論0.16.令Y,Q由上述定理給出.(ⅰ)如果X是一個擬連續(xù)隨機變量,則τQ^X和ττQ^X都是擬連續(xù)的.(ⅱ)如果X∈X ∈LC1(Ω),則τQ ^X和τQ^X都屬于LC1(Ω).之后我們給出了過程擬連續(xù)性的刻畫定理和停止過程的一些相關(guān)性質(zhì).定理0.17.令X:Ω ×[0,∞)→ R為一個過程.(ⅰ)x在Ω ×[0,T]上有擬連續(xù)版本當(dāng)且僅當(dāng)我們能找到序列X∈ C(Ω×[0,T])使得,對任意ε0,c({ sup |Xtn-Xt|ε})ε}→ 0,當(dāng) n→∞時.(0.0.14)0tT另外,我們可以選取這個版本為關(guān)于t ∈[0,T]連續(xù)的.(ⅱ)X在Ω ×[0,∞)上有擬連續(xù)版本當(dāng)且僅當(dāng)對每個T0,存在序列Xn∈C(Ω ×[0,T])使得(0.0.14)成立.而且,這個版本也能被選為關(guān)于t ∈[0，∞)連續(xù).下面兩個結(jié)果關(guān)注過程停止的擬連續(xù)性.命題0.18.令X是一個過程.隨機變量Xτ是擬連續(xù)的如果下面任一個條件成立.(ⅰ)X在Ω ×[O,T]上擬連續(xù)且τ≤T為擬連續(xù)停時.(ⅱ)X為Ω ×[O,∞)上的擬連續(xù)過程且τ:Ω → R+是一個擬連續(xù)停時.命題0.19.令X是一個過程.我們有(ⅰ)過程(XT^t)∈0,T]在Ω ×[0,T]上是擬連續(xù)的,如果X是擬連續(xù)的且τ是一個擬連續(xù)停時.(ii)過程(Xτ^t在Ω ×[0,在Ω ×∞)上是擬連續(xù)的,如果X是擬連續(xù)的且τ是一個擬連續(xù)停時.之前的刻畫定理包含G-期望空間中下面三個典型過程命題0.20.我們有:(ⅰ)G-鞅M在Ω ×[0,∞)上有擬連續(xù)版本.(ⅱ)如果η∈ MF1(0,T)(或者nT0 MG1(0,T),則過程At:=∫0tds在 Ω ×[0,T](或在Ω ×[0,∞))上有擬連續(xù)版本.(iii)如果η∈ NG1(0,T)(或者nT0MG1(0,T)),則過程 A:=∫0tηsdBi,Bjs 在Ω ×[0,T](或在Ω ×[0,∞))上有擬連續(xù)版本.基于上述命題和G-鞅的可選抽樣定理,在擬連續(xù)停時停止的G-鞅仍然是一個G-鞅.推論0.21.令τ是一個擬連續(xù)停時.如果(Mt)t≥0是一個G-鞅(或?qū)ΨQG-鞅)，則(Mt^τ)t≥0仍然是一個G-鞅(或?qū)ΨQG-鞅).我們也有隨機積分停止的一個正規(guī)性定理.命題0.22.令τ≤T為一個擬連續(xù)停時.則對每個p≥1,我們有I[0,τ]∈ MFp(0,T).(0.0.15)4.G 布朗運動驅(qū)動的均值反射倒向隨機微分方程我們考慮如下類型的G-布朗運動驅(qū)動的均值反射倒向隨機微分方程,即Y損失函數(shù)的G-期望必須滿足一個運行約束:我們的目標(biāo)是找到一個滿足方程(0.0.16)的四元組.均值反射G-倒向隨機微分方程的參數(shù)是終端條件ξ,生成元(或驅(qū)動)f,gij以及損失函數(shù)l.注意到,對于隨機的R,均值反射倒向隨機微分方程可能有無數(shù)組水平解.因此我們將研究均值反射G-倒向隨機微分方程的所謂確定解.我們記AD為SG1(0,T)中滿足R=0的非降確定過程R組成的閉子集.定義0.23.對α1,過程四元組(Y,Z,K,R)∈(?)Gα ×AD稱為均值反射G-倒向隨機微分方程(0.0.16)的確定解如果(0.0.16)成立.一個解稱為水平的,如果另外R僅在必要時上升,即∫0TE[l(t,Yt)]dRt=0.(0.0.17)在之后,我們將基于下面的標(biāo)準(zhǔn)運行假設(shè)去研究方程(0.0.16)水平解的存在唯一性:(Hξ)存在一個常數(shù)β1使得ξ屬于屬于LGβ(Ω)E[l(T,ξ)]≥ 0.(Hl)運行損失函數(shù)l:Ωτ ×[0,T]R → R足下面的性質(zhì)::1.(t,y)→l(t,y)為一致連續(xù),關(guān)于于ω致,2.(?)t∈[0,T],y→l(t,y)為嚴(yán)格上升,,3.(?)t∈[0,T],(?)y ∈R,l(t,y)屬)屬于LG1(ΩT)且E[liml(t,y)]0,4.(?)t∈[0,T],(?)∈R,|l(t,y)| ≤(1+ |y|),對某個 C ≥ 0.我們主要研究下面兩種形式的驅(qū)動:(Ⅰ)為確定線性依賴于y,且gij,與y無關(guān),(Ⅱ)和gif均與z與無關(guān)無.為簡單,我們將總是假設(shè)gij =0,而類似結(jié)果仍然對一般情形成立.情形Ⅰ中是驅(qū)動f具有下面結(jié)構(gòu)的情形:(?)其中at是確定有界Borel可測函數(shù).假設(shè)生成元f滿足下面的設(shè)定:(Hf')驅(qū)動f:[0,T]×ΩT×Rd →R滿足下面的性質(zhì):1.存在一個常數(shù)β1,使得對每個z,f(·,z)屬于MGβ(0,T),2.存在某常數(shù)λ0使得,對每個t∈[0，T]和z1,z2 ∈ Rd,|f(t，z1)-f(t，z2)|≤ λ|z1-z2|.為了構(gòu)造均值反射G-倒向隨機微分方程的一個解,我們需要定義算子Lt:LG(ΩT)→[0,∞),t ∈[0,T],如下Lt:X→ inf{x≥ 0:E[l(t,x+X)]≥ 0}.命題0.24.我們有(ⅰ)對每個(t,x)∈[0,T]×R,l(t,x+X)∈LG1(ΩT),(ⅱ)映射x→l(t,x+X)在范數(shù)‖·‖LG1下連續(xù),特別地,x→E[l(t,x+X)]是連續(xù)的,另外x→E[l(t,x +X)為嚴(yán)格增,(ⅲ)映射t→l(t,Et[X]+∫0tηudu在范數(shù)‖·‖LG1下連續(xù),特別地,t→El(t,Et[X]+∫0tηudu+是連續(xù)的.基于上述命題,我們有下面的存在唯一性定理.定理0.25.假設(shè)(Hξ)-(Hf')-(Hl)成立.則對每個1αβ,均值反射G-倒向隨機微分方程(0.0,18)有唯一的確定水平解(Y,Z,K,R)∈(?)Gα×AD.我們也有下述確定水平解的最小性.命題0.26.假設(shè)(Hξ)-(Hf'）(Hl)成立.則確定水平解(Y,Z,K)是最小的,即解的Y-分量是均值反射G-倒向隨機微分方程(0.0.18)所有確定解中最小的.情形Ⅱ中的驅(qū)動f不依賴于z,即(?)其中生成元f滿足下面的假設(shè):(Hf")驅(qū)動f:[0,T]×ΩT×R →具有下面的性質(zhì):1.對每個y,f(·,y)屬于MGβ(0,T)其中常數(shù)β1.2.存在常數(shù)λ0使得，對所有t ∈[0,T],|f,t,y1)-f(t,y2)|≤λ|y1-y2|,(?)y1,y2∈R基于壓縮論證.我們有定理0.27.假設(shè)((Hξ)-(Hf"))-Hl)-(Hl')成立立則對每個1αβ,均值反射G-向隨機微分方程(0.0.19)在在[,,T上有唯一的確定水平解(Y,Z,K,R)∈(?)Gα×AD我們也把均值反射G-倒向隨機微分方程的結(jié)果延拓到非線性期望反射情形下，即(?)這里E是一個由G-期望E控制的非線性期望.即E[X]-E[Y]≤E[X-Y,(?)X,Y ∈ LQ1(ΩT).(0.0.21)通過對之前論證的修正,我們有下面的均值反射G-BSDE的適定性.定理0.28.假設(shè)情形Ⅰ中的(Hξ)-(Hf')-(Hl)成立或情形形Ⅱ中的(H()-)-(Hf")-(Hl)-(Hl')成立.另外,假設(shè)設(shè)E[l(T,ξ]≥ lim E[l(t,x]]0.則在兩個情形下對任意1αβ,具有非線性期望反射的G-倒向隨機微分方程(0.0.20)有唯一解((Y,Z,K,R)∈(?)Gα×AD。
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2019
【分類號】：F224

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本文編號：2766249